Calcule a integral

∫ 0 8 ∫ y 1 3 2 1 1 - x 4 d x d y

Passo 1

Deveríamos começar a questão pela integral de dentro   ∫ 1 - x 4 d x , mas ela não parece muito simples em primeiro momento. Vamos, então, tentar mudar essa ordem de integração para ver se a integral fica mais fácil.

Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Temos y variando de 0 a 8 e x entre x = y 3 2 e 1 . Você não sabe desenhar a curva x = y 3 2 ? Faça assim: substitua y = 0 e y = 8 na equação e encontre os valores correspondentes de x (teremos x = 0 e x = 1 ). Seu gráfico não precisa ficar perfeito, só precisamos saber que a região de integração tem essa cara:

Passo 2

Agora vamos reescrever essa região como tipo I. Pelo próprio gráfico, vemos que x varia entre 0 e 1 , portanto 0 ≤ x ≤ 1 .

Já o valor de y varia entre 0 e a curva vermelha, vamos escrevê-la em função de x (isolando o y ):

x = y 3 2 → y = 8 x 3

Nossa região de integração será, então:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 8 x 3 }

Passo 3

Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ 0 8 x 3 1 - x 4 d y d x =

Passo 4

Vamos, agora, integrar em relação a y :

= ∫ 0 1 y 1 - x 4 y = 0 y = 8 x 3 d x =

= ∫ 0 1 8 x 3 1 - x 4 d x =

Passo 5

Veja como ficou mais simples integrar o termo dentro da raiz: se chamarmos

1 - x 4 = u

temos

- 4 x 3 d x = d u

Temos que acertar os limites de integração

x = 0 → u = 1 - 0 4 = 1

x = 1 → u = 1 - 1 4 = 0

e a integral passa a ser:

= ∫ 1 0 8 × - 1 4 u d u =

= - 2 ∫ 1 0 u d u =

Integrando em relação a u , temos:

= - 2 × 2 3 u 3 2 1 0 =

= 0 - - 4 3 =

Resposta

4 3

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
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Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x