Calcule a Integral Dupla

∫ - 3 3 ∫ 0 2 3 9 - y 2 5 2 + x + y   d x   d y

Passo 1

Resolver essa integral primeiro em relação a x, e depois aplicar aquele intervalo, com certeza fica muito difícil de resolver. Por isso, a primeira coisa que tem que vir na nossa cabeça é fazer uma mudança de ordem, certo? Bora lá então

- 3 ≤ y ≤ 3

0 ≤ x ≤ 2 3 9 - y 2

O que isso conclui pra gente?

x = 2 3 9 - y 2

9 4 x 2 = 9 - y 2

x 2 4 + y 2 9 = 1

Isso nos mostra que a região é a metade direita de uma elipse, se liga na figura.

Passo 2

Vamos então transforma-la como uma do tipo 2 para uma do tipo 1, onde ao invés de x varias entre funções e y por constantes, x variará entre constantes, e y entre funções.

Escreveremos então que x vai variar entre 0 e 2, como pode ser observado na imagem acima, enquanto y variará entre a função vermelha e a azul, tudo bem?

f V E R M E L H A = - 3 2 4 - x 2

f A Z U L = 3 2 4 - x 2

Passo 3

Agora podemos então reescrever a integral e resolver

∫ 0 2 ∫ - 3 2 4 - x 2 3 2 4 - x 2 5 2 + x + y   d y   d x =

∫ 0 2 ( 5 2 + x   3   4 - x 2 + y 2 2 | - 3 2 4 - x 2 3 2 4 - x 2 )   d x =

∫ 0 2 15 4 - x 2 2 + x d x = ∫ 0 2 15 2 - x 2 + x 2 + x d x =

∫ 0 2 15 2 - x d x

∫ 0 2 15 2 - x   d x =

15 - 2 - x 3 2 3 2 | 0 2 =

= 20 2  

Resposta

20 2  

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x