Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 922

Calcule a integral iterada

0 1 x 1 sen   y 2 d y d x

Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração, que é bem simples. Repara que temos como limites de y a curva y = x e a curva y = 1 , enquanto x   varia de 0 a 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: sen  ( y 2 ) d y . Não sabemos calcular essa integral, por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo II.

Pelo gráfico, vemos que y varia entre 0 e 1 e que x varia entre 0 e a reta vermelha ( y = x ). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

0 1   0 y sen  ( y 2 ) d x d y .

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a x :

= 0 1 x sen ( y 2 ) x = 0 x = y d y =

= 0 1 y sen ( y 2 ) d y =

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y , fazendo a substituição y 2 = u . Temos 2 y d y = d u .

= 1 2 0 1 sen ( y 2 ) ( 2 y d y ) =

= 1 2 0 1 sen ( u ) d u =

= - 1 2 cos u 0 1 =

= - 1 2 cos 1 - cos 0 =

1 2 1 - cos 1

Resposta

1 2 1 - cos 1

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