Calcule a integral mudando a ordem de integração

∫ 0 1 ∫ arcsen ⁡ y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Passo 1

Bom, aqui o exercício falou pra gente mudar a ordem de integração direto né? Nem precisamos pensar duas vezes! Lembra como fazemos isso? Começamos desenhando um esboço da região.

Os limites de integração são

arcsen ⁡ y ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ 1

Po, tem uma função chata ali no meio né? “ arcsen ⁡ y = x ”, lembra o que isso quer dizer? Em outras palavras, isso é

y = sen ⁡ x

O esboço dessa função no intervalo de y ∈ 0,1 é esse aqui

De acordo com os limites de integração, x é limitado inferiormente por essa função e superiormente por x = π / 2 , portanto o esboço da região é esse aqui

Passo 2

A nossa região inicialmente estava escrita no tipo I I certo? Já que x estava em função de y . Fazendo o contrário agora, vemos que y é limitado em baixo pelo eixo x , ou seja, por y = 0 .

Além disso, y é limitado superiormente pela função azul, que é y = sen ⁡ x . Ou seja

0 ≤ y ≤ sen ⁡ x

Pronto, agora é só ver os limites numéricos de x . Perceba que ele também começa em 0 , só que termina na reta vermelha, se você lembra lá do enunciado, essa é a reta x = π / 2 , logo

0 ≤ x ≤ π 2

Portanto a integral que precisamos calcular é

∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Passo 3

Bom, vamos começar integrando em y então

∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Viu que tudo dentro da integral está em função de x , certo? Então a integral fica

∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x y y = 0 y = sen ⁡ x d x

= ∫ 0 π 2 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Passo 4

Para a integral acima ficar mais de boas pra calcular vamos utilizar o método de substituição simples na nossa integral:

= ∫ 0 π 2 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Selecionamos o u :

u = 1 + cos 2 ⁡ x

Derivando temos:

d u d x = - 2 sen ⁡ 2 x  

d u = - sen ⁡ 2 x d x  

Agora temos um problema... não aparece a expressão - sen ⁡ 2 x d x na nossa integral! O que faremos?!

Se liga nessa identidade trigonométrica:

2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ ( 2 x )

Isso te lembra alguma coisa?! Podemos fazer:

sen ⁡ x cos ⁡ x = 1 2 sen ⁡ ( 2 x )

- d u 2 = - 1 2 sen ⁡ 2 x d x = sen ⁡ x cos ⁡ x   d x

Os novos limites são:

x = 0 → u = 1 + cos 2 ⁡ 0 = 2

x = π 2 → u = 1 + cos 2 ⁡ π 2 = 1

Portanto, voltando pra integral:

∫ 0 π 2 sen ⁡ x cos ⁡ x ⏟ - d u / 2 1 + cos 2 ⁡ x ⏟ u d x

= ∫ 2 1 u - d u 2 = - 1 2 ∫ 2 1 u d u

Integrando isso aí fica

- 1 2 2 3 u 3 2 u = 2 u = 1

= - 1 3 1 3 2 - 2 3 2

= - 1 3 1 - 2 2

2 2 - 1 3

Resposta

2 2 - 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x