Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

USP - Cálculo 3 - P1 - 2013 – 1a

Calcule a seguinte integral:

0 1 a r c t g ( y ) π 4 sec x d x d y

Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração. Temos y variando de 0 até 1 e x desde x = a r c t g y y = t g ( x ) até π / 4 :

Nossa região de integração é, portanto:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: sec ( x ) d x . Não sabemos calcular essa integral. Por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo I.

Pelo gráfico, vemos que x varia entre 0 e o x = a r c t g 1 = π / 4 e que y varia entre 0 e a curva verde ( y = t g ( x ) ). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

0 π / 4   0 t g ( x ) sec ( x ) d y d x

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a y :

= 0 π / 4   y sec x 0 t g   x d x =

= 0 π / 4   t g   x   sec x d x =

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x . Primeiro vamos abrir essas funções trigonométricas

Sabemos que

tg x = sen x cos x

sec x = 1 cos x

Logo,

0 π 4 t g x sec x d x = 0 π 4 sen x cos 2 x d x

Fazendo u = cos x d u = - sen x , vamos obter

sen x cos 2 x d x = - d u u 2 =

= u - 1 = 1 cos x = sec x

Aplicando os limites temos:

= sec x 0 π / 4 =

= 2 - 1

Resposta

2 - 1

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