1. Calcule as seguintes integrais:

b )   ∫ 1 4 ∫ ln ⁡ y 2 ln ⁡ 2 1 e x + 1   d x d y

Passo 1

Bem...! Em exercícios como esse, você tem que ficar muuuuito atento, pois embora a integral talvez até dê para resolver, você perderia muito tempo de prova! Por isso pare, pense e reflita antes de qualquer conta, ok?

Nesse exercício vamos, portanto, realizar uma troca da ordem de integração e ver se isso nos ajuda, bora?

Passo 2

Para trocar a ordem como planejamos, devemos antes desenhar a região de integração, mas não se preocupe, pois isso pode ser feito retirando algumas informações da própria integral:

  1. como o d y está mais externo, os limites mais externos são dele, portanto:
  2. 1 ≤ y ≤ 4

  3. Enquanto isso:

ln ⁡ y 2 ≤ x ≤ ln ⁡ 2

Com esses dois intervalos retirados da integral, você sempre ganha 4 equações:

y = 1

y = 4

x = ln ⁡ 2

x = ln ⁡ y 2

E advinha? Sim, vamos desenhar essas 4 curvas no plano X Y !

Passo 3

Comecemos com as três primeiras mais simples equações:

y = 1 e y = 4 , ambas retas paralelas a x ;

x = ln ⁡ 2 , como ln ⁡ 2 também é um número (um pouquinho menor que 1), essa equação também é uma reta simples, mas dessa vez paralela a y passando justamente por esse número. Veja!

Agora a curva x = ln ⁡ y 2 , se isolarmos o y lembrando-se da definição de l n ...

ln ⁡ y = 2 x       →           e 2 x = y

Chegamos nessa equação conhecida graficamente... a exponencial!

O legal é que colocando tudo em um mesmo plano (você já ir fazendo-os juntos), vemos a região D   estamos trabalhando! :D

Passo 4

O que devemos fazer agora é trocar a ordem de integração!

Pow! Se antes estávamos trabalhando com y variando em um intervalo numérico, isso implicava que estávamos trabalhando com a região configurada do T i p o   2 . Então, a gente vai configura-la agora do Tipo 1 :D!

Nessa configuração, temos o x que varia entre dois números reais, no caso ele varia de 0 até a reta amarela;

0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2

Não podemos nos esquecer da variação do y também!

r e t a   v e r d e ≤ y ≤ c u r v a   v e r m e l h a

Onde concluímos que

1 ≤ y ≤ e 2 x

Passo 5

Basta agora colocar essa nova variação

0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2

1 ≤ y ≤ e 2 x

dentro da integral dupla (mas não se esqueça que o limite numérico sempre vem primeiro )...

∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 e 2 x 1 e x + 1   d y d x

Repare que agora a inversão está concluída e podemos prosseguir com a resolução da integral. Bora?

Passo 6

Calculando primeiro a integral de dentro...

∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 e 2 x 1 e x + 1   d y d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 e 2 x 1 e x + 1   d y d x

Como a função de dentro depende apenas de x e estamos integrando em y , podemos a considerar como uma constante fazendo-a vazar de dentro dessa integral...

∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ 1 e 2 x 1 e x + 1   d y d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 1 e x + 1 ∫ 1 e 2 x   d y d x =

∫ 0 ln ⁡ 2 1 e x + 1     y 1 e 2 x d x =

Substituindo os limites de integração em y ...

∫ 0 ln ⁡ 2 1 e x + 1 e 2 x - 1 d x

Pow, se você se lembrar que a 2 - 1 = ( a + 1 ) ( a - 1 ) , podemos...

e 2 x - 1 = e x 2 - 1 =

e x + 1 e x - 1

substituindo...

∫ 0 ln ⁡ 2 1 e x + 1 e 2 x - 1 d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 1 e x + 1 e x + 1 e x - 1 d x =

cortando o de cima com o de baixo

∫ 0 ln ⁡ 2 e x - 1 d x

Tchaaaaram!!! Eis o motivo disso tudo! Essa integral é moleza ;)

∫ 0 ln ⁡ 2 e x - 1 d x =   e x - x 0 ln ⁡ 2 =

Substituindo os limites...

e ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 - e 0 - 0 =

2 - ln ⁡ 2 - 1 =

1 - ln ⁡ 2

Resposta

1 - ln ⁡ 2

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x