Calcule as seguintes integrais:

∫ 0 1 ∫ arcsin ⁡ y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Passo 1

Eita, a primeira vista essa integral parece impossível de calcular, né?

Mas calma que pra tudo nessa vida tem jeito! Nesse caso, vamos inverter a ordem de integração pra ver se melhora.

Primeiro de tudo, vamos fazer o esboço do domínio. Temos uma região do tipo 2 , com 0 ≤ y ≤ 1 , o limite de inferior de x é uma constante, π / 2   , mas o superior é uma função de y , x = arcsin ⁡ y → y = sen ⁡ x .

No desenho, a região fica assim:

Que não é muito difícil de se escrever como tipo 1 , vamos ver como vai ficar.

Passo 2

Os limites de x são bem claros, 0 ≤ x ≤ π / 2   e os de y também não são nada muito difícil de ver, 0 ≤ y ≤ sen ⁡ x . Então nossa integral vai ficar:

∫ 0 1 ∫ arcsin ⁡ y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y = ∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Passo 3

Resolvendo a integral, a gente vai chegar em:

∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

⇒ ∫ 0 π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x   y │ 0 sen ⁡ x d x

⇒ ∫ 0 π 2 1 + cos 2 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Que a gente resolve pela substituição:

u = 1 + cos 2 ⁡ x

⇒ d u = 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x d x → d x = d u - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Então:

∫ 1 + cos 2 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x d x → ∫ - u 2 d u

⇒ - 1 2 ∙ 2 3 u 3 2 = - 1 + cos 2 ⁡ x 3 2 3

Aplicando os limites de integração:

- 1 + cos 2 ⁡ x 3 2 3 │ 0 π 2 = - 1 3 1 + 0 3 2 - 1 + 1 3 2

⇒ 1 3 2 2 - 1

Viu, nada tão complicado assim, né?

Resposta

1 3 2 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x