1. Calcule as seguintes integrais:

d )   ∫ 0 1 ∫ x 1 1 + y 3   d y d x

Passo 1

Bem...! Em exercícios como esse, você tem que ficar muuuuito atento, pois embora a integral talvez até dê para resolver, você perderia muito tempo de prova! Por isso pare, pense e reflita antes de qualquer conta, ok?

Nesse exercício vamos, portanto, realizar uma troca da ordem de integração e ver se isso nos ajuda, bora?

Passo 2

Para trocar a ordem como planejamos, devemos antes desenhar a região de integração, mas não se preocupe, pois isso pode ser feito retirando algumas informações da própria integral:

  1. como o d x está mais externo, os limites mais externos são dele, portanto:
  2. 0 ≤ x ≤ 1

  3. Enquanto isso:

x ≤ y ≤ 1

Com esses dois intervalos retirados da integral, você sempre ganha 4 equações:

x = 0

x = 1

y = x

y = 1

E advinha? Sim, vamos desenhar essas 4 curvas no plano X Y !

Passo 3

Comecemos com as três primeiras mais simples equações:

x = 0 e x = 1 , ambas duas retas bem simples paralelas ao eixo y (inclusive x = 0 é o próprio eixo y )

y = 1 também é uma reta bem simples, porém dessa vez ela é paralela ao eixo x . Veja!

Um pouquinho mais “elegante” que essas está a curva da raiz de x ( y = x )

Juntando as três curvas, logo podemos perceber a região que estamos trabalhando entre as 4 ;)

Passo 4

O que devemos fazer agora é trocar a ordem de integração!

Pow! Se antes estávamos trabalhando com x variando em um intervalo numérico, isso implicava que estávamos trabalhando com a região configurada do T i p o   1 . Então, a gente vai configura-la agora do Tipo 2 :D!

Nessa configuração, temos o y que varia entre dois números reais, no caso ele varia de 0 até a reta verde;

0 ≤ y ≤ 1

Não podemos nos esquecer da variação do x também!

x entra na reta vermelha e sai na curva azul (acompanhe a reta PRETA com o seu dedo e veja )

Logo

r e t a   v e r m e l h a ≤ x ≤ c u r v a   a z u l

Como a curva azul é y = x , isolando o x ...

x = y 2

Onde concluímos que

0 ≤ x ≤ y 2

Passo 5

Basta agora colocar essa nova variação

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ y 2

dentro da integral dupla (mas não se esqueça que o limite numérico sempre vem primeiro )...

∫ 0 1 ∫ 0 y 2 1 + y 3   d x d y

Repare que agora a inversão está concluída e podemos prosseguir com a resolução da integral. Bora?

Passo 6

Calculando primeiro a integral de dentro...

∫ 0 1 ∫ 0 y 2 1 + y 3   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 y 2 1 + y 3   d x d y

Como a função de dentro depende apenas de x e estamos integrando em x podemos a considerar como uma constante fazendo-a vazar de dentro dessa integral...

∫ 0 1 1 + y 3 ∫ 0 y 2   d x d y =

∫ 0 1 1 + y 3   x 0 y 2 d y =

Substituindo os limites de integração em x ...

∫ 0 1 1 + y 3   y 2 - 0 d y = ∫ 0 1 1 + y 3 ∙ y 2 d y

Tchaaaaram!!! Eis o motivo disso tudo! Essa integral é moleza, basta que façamos uma mudança de variável ;)

1 + y 3 = t

d t = 3 y 2 d y         →           y 2 d y = d t 3

Não se esqueça de trocar os limites também, heim!

y = 0                 →               t = 1 + 0 3 = 1

y = 1               →               t = 1 + 1 3 = 2

Finalmente, substituindo tudo...

∫ 0 1 1 + y 3 ∙ y 2 d y = ∫ 1 2 t ∙ d t 3 =

  1 3 2 3 t 3 2 1 2 =   2 9 t 3 2 1 2

substituindo os limites...

2 9 2 3 2 - 2 9 1 3 2 =

2 9 2 2 - 2 9

Resposta

2 9 2 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x