3) Calcule as seguintes integrais:

a)

∬ D   cos ⁡ y 3   d x d y ,

onde D é limitada por y = x ,         y = 2 ,         x = 0 .

Passo 1

Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano X Y todas as curvas dadas.

Vamos começar aqui colocando as mais simples primeiro: y = 2 e x = 0 . Ambas nos representam umas retas, onde a primeira, y = 2 , é paralela a x e a segunda a y :

Quanto à segunda equação, y = x , tem o gráfico sendo

O legal é que já dá pra ver que região D   estamos trabalhando! :D

Agora temos que descrever essa região! Bora?

Passo 2

Agora precisamos pensar um pouco: que tipo de descrição podemos fazer de forma que simplifique os cálculos? Do tipo 1 ou do tipo 2 ?

Bem, se fizermos do tipo 1 , quando substituíssemos na integral, como nesse caso y variaria entre funções, a integral de dentro seria em y :

∬ D   cos ⁡ y 3   d y d x

O que seria impossível com métodos fáceis resolver a integral, a final estaria integrando cos ⁡ y 3 .

Por isso devemos escolher o Tipo 2. Sacou?

Passo 3

Bem pra esse tipo de descrição, precisamos colocar o y variando em um intervalo numérico bem definido.

O que é bem easy, nos bastando observar que y varia entre a reta y = 0 , até a reta verde

0 ≤ y ≤ 2

Passo 4

Bem...! Quanto à variação do x dentro dessa região, ele entra na equação na reta vermelha...

e sai na curva azul

Como a curva azul tem equação

y = x

Isolando se o x elevando ao quadrado ambos os lados...

x = y 2

Logo...

R e t a   v e r m e l h a ≤ x ≤ C u r v a     a z u l

0 ≤ x ≤ y 2

Passo 5

Podemos então retornar a integral que queremos resolver

∬ D   cos ⁡ y 3   d x d y

e substituir essa integral região D por

0 ≤ y ≤ 2

0 ≤ x ≤ y 2

Mas não se esqueça que o limite numérico sempre vem primeiro :

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 cos ⁡ y 3 d x d y

Bora resolver essa integral aí?

Passo 6

Primeiro calculemos a integral de dentro...

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 cos ⁡ y 3 d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 y 2 cos ⁡ y 3 d x d y =

A integral de cos ⁡ y 3 em termos de x é tomado como uma constante, por isso “vaza” da integral de dentro

∫ 0 2 cos ⁡ y 3 ∫ 0 y 2 1 d x d y =

Integrando a de dentro...

∫ 0 2 cos ⁡ y 3   x 0 y 2 d y =

Substituindo os limites de integração em x …

∫ 0 2 cos ⁡ y 3 y 2 - 0 d y =

∫ 0 2 cos ⁡ y 3 y 2 d y =

Essa integral que sobrou é easy, basta fazermos uma mudança do tipo

y 3 = t

d t = 3 y 2 d y             →             y 2 d y = d t 3

Não se esqueça de substituir os limites também, heim!

y = 0           →               t = 0

y = 2           →               t = 8

Logo...

∫ 0 8 cos ⁡ t d t 3 =

1 3   ( sin ⁡ t ) 0 8  

Substituindo os limites, lembrando que sin ⁡ 0 = 0

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 cos ⁡ y 3 d x d y = 1 3 sin ⁡ 8

Resposta

1 3 sin ⁡ 8

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x