Considere a seguinte integral dupla

I = ∫ 0 a sen ⁡ b   ∫ y cotg ⁡ b a 2 - y 2 f x , y   d x d y

  1. Reescreva a integral com a ordem de integração invertida.

Passo 1

É muito importante esboçar essa região, para podermos visualizar melhor o problema. Vamos começar analisando o intervalo de x , repare que o limite superior é x = a 2 - y 2 . Se elevarmos os dois lados ao quadrado, passamos a ter:

x 2 + y 2 = a 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio a . Como a raiz tem que ser positiva, vamos desenhar apenas a parte com x > 0 .

A outra equação que limita x é x = y cotg ⁡ b (ou y = x tg ⁡ b ), que nada mais é do que uma reta de ângulo igual a b , que desenhamos abaixo em azul.

Agora vamos analisar os limites de y : temos 0 e ( a sen ⁡ b ) , ou seja, dois números. Mas ( a sen ⁡ b ) não é um valor qualquer de y , é exatamente o ponto em que a reta corta a circunferência, pois:

a cos ⁡ b 2 + a sen ⁡ b 2 = a 2  

Assim, o ponto ( a cos ⁡ b ,   a sen ⁡ b ) satisfaz as duas equações.

A região de integração é limitada pela reta na esquerda e pela circunferência na direita.

Passo 2

Para reescrever a região acima como tipo I, precisaremos dividi-la em duas, pois a região à esquerda de x = a cos ⁡ b , é limitada superiormente pela reta azul, mas a direita é limitada pela curva em vermelho. Como não temos uma continuidade, vamos chamar a parte da esquerda de D 1 e a da direita de D 2 .

Para D 1

O intervalo em x dessa região vai de 0 até ( a cos ⁡ b ) , onde y = a sen ⁡ b , portanto, temos 0 ≤ x ≤ a cos ⁡ b . Em y , temos 0 embaixo e a reta azul em cima. Assim, esse domínio será da seguinte forma:

D 1 = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ a cos ⁡ b ; 0 ≤ y ≤ x tg ⁡ b }

Perceba que escrevemos a equação da reta em função de x .

Para D 2

Os limites de x dessa região são ( a cos ⁡ b ) e a , o que significa: a   c o s   b ≤ x ≤ a . Em y , temos novamente 0 embaixo, mas agora, a parte de cima é limitada pela circunferência, então vamos escrever sua equação em função de x .

x 2 + y 2 = a 2   → y = a 2 - x 2

(Apenas a parte com y > 0 nos interessa)

Podemos, então, escrever esse domínio como:

D 2 = { ( x , y ) | a cos ⁡ b ≤ x ≤ a   ; 0 ≤ y ≤ a 2 - x 2 }

Passo 3

Finalmente, podemos reescrever a nossa integral:

I = ∫ 0 a sen ⁡ b   ∫ y cotg ⁡ b a 2 - y 2 f x , y d x d y = ∬ D 1   f x , y d y d x + ∬ D 2   f x , y d y d x =

Resposta

∫ 0 a cos ⁡ b     ∫ 0 x tg ⁡ b f x , y d y d x + ∫ a cos ⁡ b a       ∫ 0 a 2 - x 2 f x , y d y d x

A letra b) dessa questão faremos mais à frente, em outro capitulo.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x