Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2011.1 – 1a

Considere a seguinte integral dupla

I = 0 a sen b   y cotg b a 2 - y 2 f x , y   d x d y

  1. Reescreva a integral com a ordem de integração invertida, sendo a > 0 ,   0 b π 2 .

Passo 1

É muito importante esboçar essa região, para podermos visualizar melhor o problema. Vamos começar analisando o intervalo de x , repare que o limite superior é x = a 2 - y 2 . Se elevarmos os dois lados ao quadrado, passamos a ter:

x 2 + y 2 = a 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio a . Como a raiz tem que ser positiva, vamos desenhar apenas a parte com x > 0 .

A outra equação que limita x é x = y cotg b (ou y = x tg b ), que nada mais é do que uma reta de coeficiente angular igual a tg b – ou seja uma reta com ângulo de inclinação igual a b – que desenhamos abaixo em azul.

Agora vamos analisar os limites de y : temos 0 e ( a sen b ) , ou seja, dois números. Mas ( a sen b ) não é um valor qualquer de y , é exatamente o ponto em que a reta corta a circunferência, pois:

a cos b 2 + a sen b 2 = a 2  

Assim, o ponto ( a cos b ,   a sen b ) satisfaz as duas equações.

A região de integração é limitada pela reta na esquerda e pela circunferência na direita.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para reescrever a região acima como tipo I, precisaremos dividi-la em duas, pois a região à esquerda de x = a cos b , é limitada superiormente pela reta azul, mas a direita é limitada pela curva em vermelho. Como não temos uma continuidade, vamos chamar a parte da esquerda de D 1 e a da direita de D 2 .

Para D 1

O intervalo em x dessa região vai de 0 até ( a cos b ) , onde y = a sen b , portanto, temos 0 x a cos b . Em y , temos 0 embaixo e a reta azul em cima. Assim, esse domínio será da seguinte forma:

D 1 = { ( x , y ) | 0 x a cos b ; 0 y x tg b }

Perceba que escrevemos a equação da reta em função de x .

Para D 2

Os limites de x dessa região são ( a cos b ) e a , o que significa: a   c o s   b x a . Em y , temos novamente 0 embaixo, mas agora, a parte de cima é limitada pela circunferência, então vamos escrever sua equação em função de x .

x 2 + y 2 = a 2   y = a 2 - x 2

(Apenas a parte com y > 0 nos interessa)

Podemos, então, escrever esse domínio como:

D 2 = { ( x , y ) | a cos b x a   ; 0 y a 2 - x 2 }

Passo 3

Finalmente, podemos reescrever a nossa integral:

I = 0 a sen b   y cotg b a 2 - y 2 f x , y d x d y = D 1   f x , y d y d x + D 2   f x , y d y d x =

Resposta

0 a cos b     0 x tg b f x , y d y d x + a cos b a       0 a 2 - x 2 f x , y d y d x

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