Questão 2: Seja D a região do plano D = x ,   y ∈ R 2   |   x ≥ 0 ,   y ≤ 3 x 2 ,   y ≥ x 2 ,   y ≥ x 6 e considere a mudança de variáveis T : u ,   v ∈ R 2   |   u ≥ 0 → R 2 , T u ,   v = u ,   u v .

  1. Esboçar D e a região B do plano u v tal que T B = D ;
  2. Calcular

∬ D   x 3 x 6 + y   d x d y

Passo 1

Bem, vamos começar o problema desenhando a região mais fácil de desenhar que é a própria região D . Ela é mais fácil de desenhar porque já temos aqui a função de todas as curvas que delimita ela:

y = 3 x 2

y = x 2

Duas parábolas (no primeiro quadrante por que só queremos os pontos de D que tem x ≥ 0 ):

A última curva que delimita a região D é y = x 6 (uma espécie de parábola só que mais íngreme):

Assim, concluímos que a região D é a região do interior dessas três curvas:

Passo 2

Agora vem uma parte um pouquinho mais chata: desenhar a região B ! Ela é um pouquinho mais chat, porque ao contrário da região D , que já tinha as equações das curvas que a delimitava, essa região B , ainda não tem, e essa será a nossa primeira tarefa: determinar os limites de B .

Ok, então vamos nessa: a única coisa que sabemos da região B é que:

T B = D

Isso significa que se pegarmos pontos da região B e aplicar na transformação, isso tem que me gerar pontos da região D :

T u ,   v = x ,   y

Como T u ,   v = u ,   u v ...

u ,   u v = x ,   y

Por igualdade de vetores:

x = u

y = u v

E essa, basicamente é a nossa mudança. Vale ressaltar que isso acontece com todos os pontos de x ,   y ∈ D . Então, se isso acontece com todos os pontos, isso acontece com a fronteira de D também, concorda?

Como a fronteira são três equações: y = x 2 ,   y = 3 x 2   e   y = x 6 , para cada curva dessas vamos ter que resolver um sistema diferente. Por exemplo, se quisermos ver qual é a curva no plano u v que representa y = x 2 , basta resolver o sistema:

x = u                     I y = u v                   I I y = x 2               I I I             →                 c o m o   u = x 2       d e   I   →                 y = u     d e   I I I       e           v = 1     ( d e   I I )

Então a curva no plano u v que representa y = x 2 é v = 1 :

Para a representação de y = 3 x 2 ...

x = u                     I y = u v                   I I y = 3 x 2               I I I           �� →           c o m o   u = x 2       d e   I   →                 y = 3 u     d e   I I I       e           v = 3     ( d e   I I )

Por fim: y = x 6 ...

x = u                     I y = u v                   I I y = x 6               I I I             →           c o m o   u = x 2       d e   I   →                 y = u 3     d e   I I I       e           v = u 2     ( d e   I I )

Acabamos de representar as três curvas de x y no u v , mas veja que ainda não temos uma região B , afinal de contas esse cara está aberto, então venha comigo para vermos como vamos fechar!

Passo 3

Bem, uma coisa que não podemos esquecer é que 3 x 2 e x 2 tem um vértice em comum no ponto 0 ,   0 :

Se substituirmos esse ponto nos dois sistemas que descobrimos essas curvas:

x = u                     I y = u v                   I I y = x 2               I I I             e               x = u                     I y = u v                   I I y = 3 x 2               I I I       →     c o m o   x = 0

u = 0

Isso significa que a transformação T , leva o ponto x = 0 em um valor de u = 0 :

T 0 ,   v = x ,   y = 0 ,   0

Observe que o valor de v não importa se u = 0 , afinal, da segunda equação:

y = 0 ⋅ v = 0

Então, a representação do ponto 0 ,   0 no plano u v é uma reta onde u = 0 e v é um termo independente:

Sacou?

Passo 4

b )

Vamos recapitular o que nós queremos aqui, e o que nós queremos mesmo é resolver a integral dupla:

∬ D   x 3 x 6 + y   d x d y

Muitos poderiam pensar: “Hum... Uma integral dupla na região D ... Basta descrevê-la e sair integrando”. Mas veja você que a região D é muito complicada:

Mas veja que temos uma solução bem legal vinda do item a ... Vamos utilizar a mudança de variáveis e utilizar a região B em u e v que é bem mais simples:

Passo 5

Beleza, a mudança que vamos fazer é a mudança do item a , ou seja:

x = u

y = u v

O Jacobiano dessa mudança é:

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = 1 2 u - 1 2 0 v u     →         c a l c u l a n d o   o   d e t e r m i n a n t e :

J = 1 2 u 1 2

Com essa mudança, a integral dupla que queremos, vira:

∬ D   x 3 x 6 + y   d x d y = ∬ B   u 3 u 6 + u v ⋅ J   d u d v

Observe que além de substituir x e y , duas coisas importantes aconteceram (e sempre acontece quando fazemos mudança de coordenadas):

  • Trocamos a região de integração D por B , já que agora estamos trabalhando com uma integral no domínio de u e v (e só para lembrar, T B = D da letra a do problema).
  • Além disso, multiplicamos a função do integrando pelo Jacobiano !

O que nos falta mesmo, antes de retornar para a integral e arrebentar é só encontrar a descrição da região B , ou seja, onde u e v variam! Bora nessa, então?

Passo 6

Visualizando novamente a região B :

Podemos ver que conseguimos descrevê-la de forma mais tranquila se considerarmos a configuração de tipo 2, ou seja, temos o v variando entre intervalos numéricos bem definidos:

1 ≤ v ≤ 3

Enquanto o u varia do lado preto ao outro lado vermelho:

C u r v a   p r e t a ≤ u ≤ C u r v a   v e r m e l h a →

0 ≤ u ≤ v                

Passo 7

Substituindo então na integral dupla que vamos resolver:

∬ D   x 3 x 6 + y   d x d y = ∬ B   u 3 u 6 + u v ⋅ J   d u d v =

∫ 1 3 ∫ 0 v u 3 2 u 3 + u v ⋅ 1 2 u 1 2   d u d v =

1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 v u 2 u 3 + u v   d u d v =

Dando mais uma ajeitada na integral:

1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 v u 2 u u 2 + v   d u d v = 1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 v u u 2 + v   d u d v =

Para resolver a integral de dentro (considerando v constante), que tal fazermos uma substituição simples:

u 2 + v = t       →           d t = 2 u   d u         o u         u   d u = d t 2

Lembre-se de substituir também os limites:

u = 0               →             t = u 2 + v = v

u = v               →             t = u 2 + v = 2 v

1 2 ∫ 1 3 ∫ v 2 v 1 t   d t 2 d v = 1 4 ∫ 1 3   ln ⁡ t   v 2 v d v =

1 4 ∫ 1 3 ln ⁡ 2 v - ln ⁡ v d v = 1 4 ∫ 1 3 ln ⁡ 2 v v d v =

1 4 ∫ 1 3 ln ⁡ 2 d v = ln ⁡ 2 4 3 - 1 =

ln ⁡ 2 2

Resposta

a )

b ) ln ⁡ 2 2

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x