Troque a ordem de integração em:

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y

Passo 1

A gente só tem que inverter a ordem mesmo, nem precisa se preocupar em calcular a integral, pelo menos.

A gente tem uma região do tipo 2 e temos que passar para tipo 1, mas vamos esboçar a região pra facilitar, como a gente viu na teoria.

Primeiro temos x = - 1 - y 2 , que basicamente é uma semicircunferência com x negativo.

E depois temos a parábola x = 1 - y → y = x 2 - 2 x + 1 .

Lembrando que os limites de  y  são 0 e 1, ficamos com isso:

Passo 2

Bem, pelo desenho, dá pra ver que  - 1 ≤ x ≤ 1   e que o limite inferior de   y   é 0, só que o limite superior não pode ser escrito com uma equação só... Mas isso não é problema! A única cosa que vamos ter que fazer é separar a integral em duas.

Como o ponto que separa os dois gráficos é  x = 0 , então uma vai ser  - 1 ≤ x ≤ 0  e a outra  0 ≤ x ≤ 1 , algo desse tipo:

∫ 0 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y f x , y d x d y

∫ - 1 0 ∫ 0 g ( x ) f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 h ( x ) f x , y d y d x

Então o que só falta mesmo é achar quem são esses g(x) e h(x)!

Passo 3

g(x) vai ser o gráfico que lá em cima a gente desenhou em vermelho, da circunferência:

x = - 1 - y 2 → y = 1 - x 2

E h(x) vai ser a parábola em azul:

x = 1 - y → y = x 2 - 2 x + 1

Então, finalmente, vamos chegar em:

∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 - 2 x + 1 f x , y d y d x

Resposta

∫ - 1 0 ∫ 0 1 - x 2 f x , y d y d x + ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 - 2 x + 1 f x , y d y d x

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Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x