Exercícios Resolvidos de Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

Elaboração própria.

Troque a ordem de integração para calcular

0 1   y 1 e x 2   d x d y

Passo 1

A região está escrita como tipo II, temos 0 y 1 e y x 1 . Antes de trocar essa ordem de integração, vamos fazer um esboço desse domínio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para escrever a região como tipo I, teremos x variando entre números. Pelo próprio gráfico, vemos que:

0 x 1

Pela figura, vemos também, que o limite inferior de y é 0 (o eixo x ), falta então, descobrir o superior. Para isso, basta escrever a equação da reta vermelha em função de x , o que é bem simples. Em vez de termos x = y , teremos y = x .

Então, o domínio passa a ser

D = { ( x , y ) | 0 x 1 ; 0 y x }

Passo 3

Vamos, agora, levar esses valores para a integral, invertendo a ordem d x d y .

0 1   0 x e x 2   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

= 0 1   y e x 2 y = 0 y = x d x =

= 0 1   x e x 2 d x =

Passo 5

Agora vamos integrar em relação a x , fazendo a substituição x 2 = u .

2 x   d x = d u

= 1 2 0 1   e x 2 ( 2 x   d x ) =

= 1 2 0 1   e u   d u =

= 1 2 e u u = 0 u = 1 =

Resposta

1 2 ( e - 1 )

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