O valor da integral

∫ 0 4 ∫ x 2 cos ⁡ y 3   d y   d x

é

Passo 1

Bom, pra começar essa questão, por Fubini, observa que teríamos de integral c o s y 3 ,   uma vez que integraríamos primeiro em y. Você saber fazer essa integral?

Eu não sei, ahhaha.

Por essa razão a primeira coisa que temos que fazer é pensar em inverter a ordem de integração. Bora dar uma olhada na região que nós estamos trabalhando.

Se você for observar, estamos trabalhando em cima da região de destaquei de laranja. Nosso x variando entre 0 e 4, e o y variando entre x e 2.

Bom, então como temos x = y , isolando o x ficamos com y 2 = x .

Então agora, você consegue me acompanhar pelo gráfico, ficamos com

0 ≤ x ≤ y 2

0 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Com a ordem de integração mudada, só remontar a integral e resolver! A integral que antes era

∫ 0 4 ∫ x 2 cos ⁡ y 3   d y   d x

Agora pode ser reescrita como

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 cos ⁡ y 3   d x   d y =

∫ 0 2 x ( cos ⁡ y 3 ) | 0 y 2 d y =

∫ 0 2 y 2 cos ⁡ y 3   d y =

u = y 3 → d u = 3 y 2   d y → d y = d u 3 y 2

1 3 ∫ cos ⁡ u d u =

1 3 s e n u = 1 3 s e n   y 3 | 0 2 =

= s e n   8 3

Resposta

s e n   8 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x