Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

4 ) Uma barra, representada na figura pelo segmento A B , tem a extremidade A apoiada em uma plano inclinado e a extremidade B no chão conforme a figura. No instante t 0 a barra desliza de modo que o segmento A O mede 20 c m e diminui a uma taxa de variação de 10 c m / s. Sabendo que o segmento O B mede 40 c m no instante t 0 , determine a taxa de variação de O B neste instante.

Passo 1

A equação que melhor relaciona os 3 lados e um ângulo conhecido pela figura é a Lei dos Cossenos:

A B 2 = A O 2 + O B 2 - 2 A O O B cos ⁡ ( O ^ )

Onde temos que o ângulo O ^ = π - π 3 = 2 π 3 , onde cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2 . Vamos chamar A O = b , O B = a e A B = o , para simplificar na hora de escrever. Desejamos saber a taxa de variação de a em função da taxa de b . Sabemos que, no instante t 0 , temos:

a = 40   c m

b = 20   c m

o 2 = 40 2 + 20 2 - 2 40 20 - 1 2

o = 20 7   c m

Como a barra não pode mudar de configuração, sabemos que o é constante, ou seja, o ' = 0 em qualquer instante. Assim, podemos derivar a Lei dos Cossenos e substituir os valores em t 0 para descobrir o valor de a ' nesse mesmo instante:

o 2 = b 2 + a 2 - b a

2 o o ' = 2 b b ' + 2 a a ' - b ' a - b a '

2 20 7 0 = 2 20 10 + 2 40 a ' - 10 40 - ( 20 ) a '

0 = 400 + 80 a ' - 400 - 20 a '

100 a ' = 800

a ' = 8   c m / s

Assim, a taxa de variação do lado a , o lado O B , é 8   c m / s .

Resposta

8   c m / s

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