Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Suponha que o numero de indivíduos de uma população de bactérias seja dado no instante t ≥ 0 , por N t = 2 N 0 1 + e k t ,   onde k > 0 é uma constante e N 0 > 0   é a população inicial. Sabendo que a derivada da exponencial é ela própria, e x ' = e x , resolva os itens seguintes.

  1. Determine o instante t 0 em que o número de indivíduos é metade do valor inicial
  2. Determine a derivada d d t e k t
  3. Determine a taxa de variação do número de indivíduos em relação ao tempo
  4. Sabendo que N 0 = 1000 e k = 4 , determine a taxa acima no instante t 0 calculado no item a)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Essa é a questão que contem questões dependentes, ou seja, que por exemplo o tem b depende de a ou outra ordem. Então segue junto que vamos destrinchar essa questão

Para a)

Pede o valor de t 0 quando N 0 2 , assim:

N t = N 0 2 = 2 N 0 1 + e k t 0

Então vamos atrás desse t 0

1 + e k t 0 = 4

e k t 0 = 3

Pegando o lagaritmos de ambos os lados:

ln ⁡ e k t 0 = ln ⁡ 3

Sabendo que o ln de Euler elevado a alguma valor é o próximo valor, isto é, por exemplo ln ⁡ e 123 = 123 . Assim:

k t 0 = ln ⁡ 3

Isolando então:

t 0 = ln ⁡ 3 k

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

É nós pedido para calcular d d t e k t , essa é uma função composta, isto é k t dentro da função de Euler, assim a regra de derivação deve ser a regra da cadeia, logo:

d d t e k t = d d t k t e k t ' = k e k t '

Como foi dito no enunciado e x ' = e x , replicando isso aqui:

e k t ' = e k t

Assim:

d d t e k t = k e k t

Passo 3

Para c)

Agora nos pedem para calcular a taxa de variação de indivíduos o tempo, isto é:

d d t N t

A função de N foi dada assim:

d d t N t = d d t 2 N 0 1 + e k t = d d t 2 N 0 1 + e k t - 1

Como temos uma função composta novamente, isto é 1 + e k t dentro da função do inverso, temos que usar a derivação pela regra da cadeia, assim:

d d t N t = 2 N 0 - 1 1 + e k t - 1 - 1 d d t 1 + e k t

A derivada de e k t nós já sabemos, porque achamos no item b

d d t N t = 2 N 0 - 1 1 + e k t - 1 - 1 k e k t = - 2 N 0 k e k t 1 + e k t 2

Para d)

Agora chegamos na parte mais tranquila, que é quando vamos colocar valores nas contas. Nos pedem para calcularmos numericamente o valor da taxa de variação da população de indivíduos em relação ao tempo, que é o que obtemos no item anterior, assim:

d d t N t = - 2 N 0 k e k t 1 + e k t 2 = - 2 1000 4 e 4 ln ⁡ 3 4 1 + e 4 ln ⁡ 3 4 2

Como já dizemos antes e ln ⁡ x = x

- 2 1000 4 e 4 ln ⁡ 3 4 1 + e 4 ln ⁡ 3 4 2 = - 8000 3 1 + 3 2 = - 24000 16 = - 1500

Resumindo:

d d t N t = - 2 N 0 k e k t 1 + e k t 2 = - 2 1000 4 e 4 ln ⁡ 3 4 1 + e 4 ln ⁡ 3 4 2 = - 1500

Obrigado por ficar até aqui, carinha. Até a próxima!

Resposta

Para a)

t 0 = ln ⁡ 3 k

Para b)

d d t e k t = k e k t

Para c)

d d t N t = - 2 N 0 k e k t 1 + e k t 2

Para d)

d d t N t = - 1500

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