Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma escada com 13 pés está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a

escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela

escorrega a uma taxa de 5 pés/s.

(c) A que taxa o ângulo, formado pela escada e pelo solo, varia?

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a taxa de variação do ângulo formado pela uma escada de 13 pés e pela distância de apoio de sua base no solo. Como a escada possui um tamanho fixo, há um vínculo entre a medida da distância do topo da escada ao chão e a distância horizontal da base da escada. Da figura, é simples perceber que esse vínculo pode ser escrito através do teorema de Pitágoras se notarmos que a escada, a distância vertical e a distância horizontal constituem, respectivamente, a hipotenusa e os catetos. Assim, podemos escrever a restrição das medidas na seguinte forma:

x ( t ) 2 + y ( t ) 2 =   13 2

Sabendo que as distâncias x(t) e y(t) variam no tempo, mas o comprimento da escada não varia e, sabendo também que, a cada instante de tempo as distâncias formarão um novo triângulo retângulo, podemos relacionar suas taxas de variações derivando a expressão. Mas antes disso, é interessante explicitar como o ângulo θ ( t ) depende de x(t) e y(t). Sabemos que, a tangente do ângulo θ ( t ) é dada pela razão entre o cateto oposto sobre o cateto adjacente. Assim, temos que

t g θ ( t ) =   y ( t ) x ( t )   ⇔   θ ( t )   =   a r c t g y ( t ) x ( t )

Então, podemos relacionar a taxa de variação de θ ( t ) com as taxas de variação de y(t) e de x(t) derivando a equação acima. Então, bora lá derivar!

Passo 2

Escrevendo a componente y(t) em função da componente x(t), obtemos:

y ( t )   =   13 2 - x ( t ) 2

Para descobrir como a altura do topo varia com o tempo, derivamos a expressão acima em relação ao tempo, utilizando a regra da cadeia. Definindo as funções h ( w )   =   w e w ( x ( t ) ) = 13 2 - x ( t ) 2 , podemos escrever a função y(t) como y ( t ) = h ( w ( x ( t ) ) ) . Assim, temos que a derivada da altura em relação ao tempo é:

y ' ( t ) =   d d t y ( t ) = d d w h ( w ) × d d x w ( x ) × d d t x ( t ) =   1 2 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2 × - 2 x ( t ) d d t x ( t )

Simplificando a expressão acima, podemos reescrevê-la como?

y ' ( t )   = - x ( t ) x ' ( t ) 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2  

Como esperado, a taxa de variação do topo tem sinal oposto à taxa de variação da distância da base, já que, como a escada tem tamanho fixo, se a distância da base aumenta, a medida y(t) diminui com o tempo e vice-versa. Por enquanto, vamos guardar essa expressão, daqui a pouco a gente vai precisar dela!

Passo 3

Agora, sabendo como a taxa de variação de y(t) se relaciona com a taxa de variação de x(t), podemos calcular a taxa de variação do ângulo em função da derivada de apenas uma das variáveis. Mas primeiro, vamos ver como a taxa de variação de θ ( t ) se relaciona com as outras taxas. Como θ ( t ) =   a r c t g y ( t ) x ( t ) , podemos derivar essa expressão através da regra da cadeia. Definindo as funções h ( w )   =   a r c t g ( w ) e w ( t )   =   y ( t ) x ( t ) . Assim, podemos escrever o ângulo como θ ( t ) = h ( w ( t ) ) , e então, sua derivada temporal é

d d t �� ( t ) = θ ' ( t )   = d d w h ( w ) × d d t w ( t )   =   1 1 + y ( t ) x ( t ) 2 × y ' ( t ) x ( t ) - y ( t ) x ' ( t ) x ( t ) 2

Onde utilizamos que a derivada de a r c t g ( ϕ ) é ( 1   + ϕ 2 ) - 1 e utilizamos a regra do quociente para derivar y ( t ) x ( t ) em relação ao tempo. Substituindo as expressões para y(t) e y���(t), podemos escrever a taxa de variação do ângulo θ em função de x(t) e x’(t) apenas:

θ ' ( t )   = - 1 1 + 13 2 - x ( t ) 2 x ( t ) 2 × x ( t ) 2 x ' ( t ) 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2 + 13 2 - x ( t ) 2 x ' ( t ) x ( t ) 2  

Resposta

θ ' ( t )   = - 1 1 + 13 2 - x ( t ) 2 x ( t ) 2 × x ( t ) 2 x ' ( t ) 13 2 - x ( t ) 2 - 1 2 + 13 2 - x ( t ) 2 x ' ( t ) x ( t ) 2  

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