Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Considere o triângulo retângulo A B C , em que os catetos são A B   =   b   e A C   =   h . Assuma que b e h variam com o tempo t e satisfazem a seguinte relação:

b = 3 π + sen ⁡ h

Num determinado instante t 0 , tem-se h = π e a taxa de variação da área do triângulo A B C é igual a 10 π .

i ) Calcule a taxa de variação de h no instante t 0 .

i i ) Calcule a taxa de variação do ângulo A C B no instante t 0 .

Passo 1

Olha, se o cara definiu b e h como catetos (triângulo é retângulo, portanto), nós temos que a área do triângulo vai valer A = b . h 2 , com b = 3 π + sen ⁡ h , ou seja:

A = 3 π + sen ⁡ h h 2

Temos que no instante t 0 o h = π   e A ' h = 10 π . Vamos derivar A ( h ) para descobrir h ' :

A ' h = 3 π + sen ⁡ h ' h + 3 π + sen ⁡ h h ' 2

A ' ( h ) = ( h ) ' cos ⁡ h h + 3 π + s e n   h h ' 2

Agora, substituímos os valores em t 0 para descobrir h ' nesse instante:

10 π = ( h ) ' cos ⁡ π π + 3 π + s e n   π h ' 2

10 π = - π ( h ) ' + 3 π h ' 2

2 0 π = - 1 + 3 π ( h ) '

2 0 = 2 h '

20 2 = ( h ) '

10 = ( h ) '

Passo 2

A gente pode pensar numa relação relacionando o ângulo A C B = C ^ com os lados. Serve, por exemplo, a relação da tg ⁡ C ^ é uma boa, por exemplo:

tg ⁡ C ^ = A B A C = b h

Com a variação do ângulo aparecendo quando derivamos a relação:

sec 2 ⁡ C ^ C ^ ' = b ' h - h ' b h 2

Temos que em t 0 :

h = π

b = 3 π + sen ⁡ π = 3 π

h ' = 10       v i n d o   d a   l e t r a   a

b ' = cos ⁡ h h ' = cos ⁡ π 10

= - 10

Logo, temos também a própria tangente, certo?

tg ⁡ C ^ = b h = 3 π π

= 3

Olha, para descobrir C ^ ' basta só saber o valor da secante ao quadrado. E agora? Bom, tem uma relação fundamental da trigonometria relacionando tangente e secante, saca aqui:

sec 2 ⁡ C ^ = tg 2 ⁡ C ^ + 1

sec 2 ⁡ C ^ = 3 2 + 1

= 10

Agora é só substituir esses valores na relação da derivada do ângulo:

sec 2 ⁡ C ^ C ^ ' = b ' h - h ' b h 2

10 C ^ ' = - 10 π - 10 3 π π 2

C ^ ' = - π - 3 π π 2

C ^ ' = - 4 π

É isso!

Resposta

h ' = 10     ( u n i d a d e s   d e   c o m p . / t e m p o )

C ^ ' = - 4 π

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