Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

Passo 1

O que a questão pede é a grandeza:

d h d t =   ?

No instante em que h = 4 . O dado que nós temos é referente à velocidade.

Como a velocidade é a taxa de variação da posição com relação ao tempo, e o espaço transladado pela partícula em A é o arco s , então é seguro dizer que a velocidade é:

d s d t = 0,1

Passo 2

A grandeza que vai conectar os nossos s e h vai ser o ângulo θ que é comum à geometria dessas duas grandezas. Pelas equações da geometria:

s = r θ

h = r sen ⁡ θ

Temos também que o raio r é:

r = 5

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:

d s d t = 5 d θ d t

d h d t = 5 cos ⁡ θ d θ d t

A grandeza comum a ambas as equações nós evidenciamos em vermelho acima e podemos substituir. Na primeira equação, temos:

d s d t = 0,1

Substituindo na segunda:

d h d t = 5 d θ d t cos ⁡ θ

d h d t = 0,1 × cos ⁡ θ

Passo 4

Agora basta achar quanto é o cos ⁡ θ quando h = 4 : cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Da figura, temos, quando h = 4 :

sen ⁡ θ = 4 5

Calculando:

cos ⁡ θ = 1 - 16 25 = 25 - 16 25

cos ⁡ θ = 9 25

cos ⁡ θ = 3 5

Portanto, substituímos:

d h d t = 0,1 × 3 5

Resposta

d h d t = 0,06

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