Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de 0 ,   1   m ³ / s . O vértice está a 15   m do topo e o raio do topo é de 10   m . Com que velocidade o nível h da agua está subindo no instante em que h   =   5   m ?

Passo 1

A questão pede a variação da altura da água quando a altura é 5   m . Temos a taxa de variação de seu volume, que é 0,1   m ³ / s . Sabemos também que o volume do cone é dado por

V = π r 2 h 3

Além disso, o enunciado diz que o raio do cone é 10 m . Assim:

r = 2 3 h

r ' = 2 3 h '

e

V = 4 π h ³ 27

Passo 2

Para achar a taxa de variação da altura, teremos que derivar implicitamente a equação que dá o volume em relação ao tempo.

V ' = 3 . 4 . π h 2 . h ' 27

h ' = 27 V ' 12 π h 2 = 9 V ' 4 π h 2

Passo 3

Agora só precisamos substituir as informações dadas nos enunciados. A taxa de variação do volume, V ' , é 0,1   m 3 / s e a altura é 5   m . Então:

h ' 5 = 9 . 0,1 4 π 5 2 = 0,9 100 π   m / s

Resposta

0,9 100 π   m / s

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