Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Em uma fazenda de psicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhido regularmente. Um modelo para variação da população é dada pela equação:

d P d t = r 0 1 - P t P c P t - β P t

Em que r 0 é a taxa de nascimento dos peixes, P c é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e β é a porcentagem da população que é colhida.

Se o pequeno lago pode manter 1000 peixes a taxa de nascimento é 5% e a taxa de colheita é de 4%, encontre o nível estável da população.

Passo 1

E aí, galerinha!!! Então, o enunciado contou pra gente uma historinha e depois deu uma equação pra gente que representa a historinha, certo?

Então, o que aconteceu na letra (a) é que, queremos saber quando vamos ter uma população estável, ou seja, a taxa de crescimento não pode ser negativa (mais mortes do que nascimentos) e nem positiva (mais nascimentos do que morte), ela precisa ser igual a zero!

d P d t = 0

Isso também deve ser mantido na letra (b), pois é pedido pra encontrarmos o nível estável da população de novo, certo?

Passo 2

Partindo desse princípio, para encontrar o nível estável de população, fazemos:

0 = r 0 1 - P t P c P t - β P t

β P = r 0 1 - P P c P  

Reorganizando os termos e eliminando P , temos:

β r 0 = 1 - P P c

1 - β r 0 = P P c

P c 1 - β r 0 = P  

Passo 3

Tendo P c = 10000 , β = 4 % e r 0 = 5 % , logo

10000 1 - 0,04 0,05 = P

P = 2000

Resposta

P = 2000

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