Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Dois navios a vapor estão navegando para longe de um ponto O em rotas que forma um ângulo de 120 º . O navio A desloca-se a 14 nós (milhas náuticas por hora). O navio B desloca-se a 21 nós. A que taxa os navios estão se afastando entre si, quando O A = 5 e O B = 3 milhas náuticas?

Passo 1

Vamos tentar visualizar o problema:

Queremos achar a variação da distância entre os navios que é descrita por B A :

d B A d t = ? ?

Temos a informação das distancias O B e O A :

O B = 3 m i l h a s

O A = 5 m i l h a s

E as variações dessas distâncias (velocidades):

d O A d t = 14 n ó s

d O B d t = 21 n ó s

Sendo 1 nó igual à 1 milha náutica por hora.

Passo 2

Agora, o que relaciona isso tudo? Não dá para usar Pitágoras, pois não temos um triângulo retângulo. Que nos salvará agora será a lei dos cossenos:

B A 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O B O A ⋅ cos ⁡ ( 120 º )

B A 2 = O A 2 + O B 2 + 2 2 O B O A

Derivando isso tudo em relação ao tempo: 2 B A d B A d t = 2 O A d O A d t + 2 O B d O B d t + d O B d t O A + d O A d t O B

Substituindo tudo que a gente já sabe:

2 B A d B A d t = 10   ⋅ 14 + 6 ⋅ 21 + 21 ⋅ 5 + 14 ⋅ 3

B A d B A d t = 413 2

Falta só achar B A que achamos tudo que queremos.

Passo 3

Da lei dos cossenos:

B A 2 = O A 2 + O B 2 + O B O A

Substituindo:

B A 2 = 5 2 + 3 2 + 3 ⋅ 5

B A = 7 m i l h a s   n á u t i c a s

Ignoramos a parte negativa, pois é unidade de distância.

Substituindo:

7 ⋅ d B A d t = 413 2

Isolando:

d B A d t = 413 14   n ó s

Ficou um resultado bem feio, eu sei. Mas não se preocupe com isso, é bastante comum, até em prova, os resultados saírem assim.

Resposta

d B A d t = 413 14   n ó s

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