Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2015.1 – 3

Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera. Se o raio da esfera cresce a uma taxa de 1   c m / s   e o raio da base do cilindro cresce a uma taxa de 3   c m / s , com que razão está variando a área lateral do cilindro no momento em que o raio da esfera é 10   c m e o raio da base do cilindro é de 6   c m ?

Passo 1

O que a gente quer achar? Queremos calcular a variação da área lateral do cilindro:

d A l d t = ? ?

Chamando, como na figura, de R o raio da esfera, r o do cilindro e h a metade da altura, vamos reunir aqui os dados num instante dado que eu vou chamar de t 0 :

d R t 0 d t = 1   c m / s

d r t 0 d t = 3   c m / s

R t 0 = 10   c m

r t 0 = 6   c m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E ele quer saber, com isso, como varia a área lateral do cilindro. Bom, podemos calcular essa área pela definição geométrica dela, que é a seguinte:

A l = 2 π r 2 h

Porém, h é uma variável da qual não conhecemos a taxa de variação e o valor em t 0 , o que complica para trabalhar. Por outro lado, dá para ver pela própria figura que r , h e R formam um triângulo retângulo, então poderemos escrever h em função de r e R :

h 2 + r 2 = R 2 h = R 2 - r 2

Substituindo:

A l = 4 π r R 2 - r 2

Passo 3

Vamos derivar os dois lados em função do tempo e ver como ficamos (não se esqueça da regra da soma, heim):

d A l d t = 4 π d r d t R 2 - r 2 + r d R 2 - r 2 d t

Derivando a raiz e aplicando a regra do cadeia...

= 4 π d r d t R 2 - r 2 + r 2 R 2 - r 2 d R 2 - r 2 d t

= 4 π R 2 - r 2 + r R 2 - r 2 ( R d R d t - r d r d t )

Bom, em t 0 a gente sabe quais serão os valores de r , r ' , R e R ' .

= 4 π d r ( t 0 ) d t R t 0 2 - r t 0 2 + r ( t 0 ) R t 0 2 - r t 0 2 R ( t 0 ) d R ( t 0 ) d t - r ( t 0 ) d r ( t 0 ) d t

Agora é só substituir tudo o que temos mesmo...

= 4 π 3 10 2 - 6 2 + 6 10 1 - 6 3 10 2 - 6 2

= 4 π 3 100 - 36 + 6 10 - 18 100 - 36

= 4 π 3 64 + 6 ( - 8 ) 64 = 4 π 3 8 - 48 8

= 4 π 24 - 6 = 4 π 18

= 72 π   c m 2 / s

Resposta

d A l d t = 72 π   c m 2 / s

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