Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

O raio de luz de um farol, que está situado a 3   k m de uma praia reta, faz 8   r p m   (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de 45 ° com a linha da praia.

Passo 1

A primeira coisa é entender quais são as grandezas que estamos relacionando.

Vamos fazer um desenho com o farol e a praia para vermos o que está acontecendo.

Vamos chamar de D o comprimento do raio de luz, e de x a distância ao longo da praia que ele percorreu em relação àquela linha tracejada. Vai ficar assim

Aquele θ é o ângulo entre o raio de luz e a linha tracejada, não é o ângulo com a praia, eu fiz isso porque a conta fica mais simples assim a velocidade que ele da é desse ângulo e não do da praia, só lembrar que

θ = 90 ° - " â n g u l o   d o   r a i o   c o m   a   p r a i a "

Isso nos dá duas relações

D 2 = x 2 + 9

sen ⁡ θ = x D

Passo 2

Tendo essas relações vamos derivar isso tudo em relação ao tempo

2 D . D ' = 2 x . x '

cos ⁡ θ θ ' = x ' D - x D ' D 2

Temos as duas relações mas quais dessas taxas de variação nos queremos? Lembra que ele quer a velocidade do raio de luz ao longo da praia? Então ele quer x ' .

Precisamos ver agora se temos todos os valores para substituir ali.

Primeiro ele deu a velocidade angular

θ ' = 8   r p m = 8.2 π   r a d / m i n = 16 π   r a d / m i n

Ele também deu o ângulo

θ = 90 ° - 45 ° = 45 °

Como ele quer x ' vamos isolar D ' na primeira equação, porque na primeira? A segunda tem a relação com θ e temos θ '

2 D . D ' = 2 x . x '

D ' = x D x '

cos ⁡ θ θ ' = x ' D - x x D x ' D 2

cos ⁡ θ θ ' = x ' D - x 2 D x ' D 2

cos ⁡ θ θ ' = x ' D 2 - x 2 x ' D . D 2

Falta acharmos D e x e aí é só correr para o abraço.

Passo 3

Como o ângulo é 45 ° esse triangulo é isósceles, dessa forma

x = 3   k m

E podemos fazer

D 2 = x 2 + 9

D 2 = 3 2 + 9 2

D = 18 = 3 2   k m

Passo 4

Vamos substituir todos os valores

cos ⁡ θ θ ' = x ' D 2 - x 2 x ' D . D 2

cos ⁡ 45 ° 16 π = x ' 18 - 9 x ' 3 2 . 18

2 2 16 π = 9 x ' 3 2 . 18

x ' = 2 . 3 2 . 18.16 π 2.9 = 96 π   k m / m i n

Resposta

x ' = 96 π   k m / m i n

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