Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

Ver Teoria

Enunciado

Uma escada de 8   m e t r o s está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s e g , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3   m e t r o s da parede?

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

Essa é bem clássica hein, bom temos uma escada de 8   m e t r o s . Essa escada está encostada em uma parede, em seguida essa escada é afastada em sua extremidade inferior a uma velocidade de 2   m / s e g , então deseja-se saber qual é a velocidade na extremidade superior quando essa escada distar 3   m e t r o s da parede. Belezura, então a nossa situação é a da imagem seguinte:

Onde E representa o tamanho da escada, y representa a altura da extremidade superior em relação ao pé da parede e por fim, x   que representa a distância da extremidade inferior da escada ao pé da parede. E aí? O que podemos fazer agora?

Passo 2

Bom, pela imagem do passo anterior vemos que é possível relacionar as distâncias aplicando o teorema de Pitágoras. Assim,

E ² =   y ²   +   x ²

Sendo que E   =   8   m

y ² + x ²   =   64

Passo 3

Como desejamos saber a velocidade da ponta superior da escada quando x   =   3 , e é importante lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Nesse caso deveremos aplicar a derivação implícita na equação anterior para que possamos encontrar o desejado. Sendo assim,

( 64 ) ' =   ( y ² + x ² ) '

0   =   2 y y ' + 2 x x '

Já sabemos o valor de x   =   3   m , o enunciado nos forneceu também quanto varia o x em relação ao tempo ( x ' ) . Logo basta encontrarmos o valor de y para aplicarmos na expressão encontrada. Se y ² + x ²   =   64 e   x =   3 então y será:

y ² + x ²   =   64

y ² + 3 ²   =   64

y ²   =   64 - 9   = 55

y   =   55

Passo 4

Agora já temos tudo para aplicar na nossa receitinha de bolo, bora lá!

  2 y y ' + 2 x x ' =   0

Queremos encontrar o valor de y ' uma vez que a velocidade da escada na extremidade superior é a taxa de variação da distância em um dado tempo.

2 55 y '   +   2 ( 3 ) 2 =   0

y '   =   - 6 55     m / s

E aí? Consegui te ajudar? Beleza!

Bora continuar treinando! :)

Resposta

  - 6 55     m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Um meteorito entra na atmosfera da Terra e queima a uma taxa que, em cada instante, é proporcional à área de sua superfície. Supondo que o meteorito é sempre esférico, mostre que o raio decresce a uma
37. No exercio 36, se o nível de água estiver decrescendo a uma taxa de 25cm/min quando a profundidade é de 3m, com que velocidade a água está sainda da tina?
39. O volume de um balão está decrescendo a uma taxa proporcional à sua área superficial. Mostre que o raio do balão diminui a uma taxa constante.
Um tanque com a forma de cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6m 3 / m i n . A altura do cone é de 24 m e o raio da base é de 12 m . Ache a velocidade com que o nível de água está baixand
30. A demanda por um determinado tipo de cereal é dada peal equação p x + 50 p = 16.00 0 onde x milhares de caixa são demandados quando o preço por caixa for p. Se o preço corrente for de $1,60 por ca