Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

No desenho, o ponto A representa um objeto que se desloca sobre uma semicircunferência de raio 5   m , com velocidade constante 0,1   m / s . Em cada instante, h é a distância de A até o diâmetro P Q .

Durante o movimento de subida, qual será a taxa de variação da distância h no momento em que ela medir 4   m ?

Passo 1

O que a questão pede é:

d h d t =   ? ?

No instante em que h = 4 m. O dado que nós temos é referente à velocidade.

Como a velocidade é a taxa de variação da posição com relação ao tempo, e o espaço percorrido pela partícula em A é o arco s , então é seguro dizer que a velocidade é:

d s d t = 0,1 m / s

Também temos o valor do raio da figura:

r = 5 m

Passo 2

O que vai conectar os nossos s e h vai ser o ângulo θ que é comum aos dois:

s = r θ

h = r sen ⁡ θ

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:

d s d t = 5 d θ d t

d h d t = 5 cos ⁡ θ d θ d t

Substituindo o que a gente já sabe na primeira:

0,1 = 5 d θ d t ⟹ d θ d t = 0,02 r a d / s

Substituindo na segunda:

d h d t = 5 d θ d t cos ⁡ θ

d h d t = 0,1 ⋅ cos ⁡ θ

Passo 4

Agora basta achar quanto é o cos ⁡ θ quando h = 4 : cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Da figura, temos, quando h = 4 :

sen ⁡ θ = 4 5

Calculando essa felicidade:

cos ⁡ θ = 1 - 16 25 = 25 - 16 25

cos ⁡ θ = 9 25

cos ⁡ θ = 3 5

Substituindo:

d h d t = 0,1 ⋅ 3 5

Resposta

d h d t = 0,06 m / s

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