Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma escada de 8   m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3   m da parede?

Passo 1

Observe o desenho, que representa o esquema descrito no enunciado.

Chamamos o comprimento da escada de E , a distância da ponta inferior da escada à parede de x e a altura da ponta superior da escada até o chão de y . Podemos relacionar essas grandezas utilizando Pitágoras, já que o triângulo formado é retângulo.

x 2 + y 2 = E ²

Sabemos que E = 8   m , então

x 2 + y 2 = 64

Passo 2

Já que queremos a velocidade com que a ponta superior da escada desce no momento em que x = 3 precisamos derivar implicitamente a relação encontrada, visto que a velocidade é uma taxa, ou seja, uma derivada, da distancia em relação ao tempo. Portanto, o que queremos encontrar é y ' quando x = 3 e x ' = 2 .

2 x . x ' + 2 y . y ' = 0

Substituindo os valores que já temos:

2.3 . 2 + 2 y . y ' = 0

y . y ' = - 6

Aqui temos um pequeno problema. Para encontrar y ' precisamos do valor de y , mas isso pode ser facilmente obtido se substituirmos o valor de x = 3 na equação x 2 + y 2 = 64 .

3 2 + y 2 = 64

y 2 = 55

y = 55

E voltando pra encontrar y ' teremos

y . y ' = - 6 → 55 y ' = - 6 → y ' = - 6 55 m s

O sinal de negativo na velocidade indica que a escada está descendo.

Resposta

- 6 55 m s

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