Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Um velocista corre em uma pista circular de raio 100   m . Seu amigo está parado a uma distância de 200   m do centro da pista. Em um certo instante, quando a distância entre eles é de 200   m , o velocista está se afastando do amigo a uma velocidades de 1 3 de volta por minuto. Quão rápido a distância entre os amigos está variando nesse momento?

Passo 1

Vamos pensar em como organizar o problema, em primeiro lugar. Nota que a velocidade que ele nos dá é em voltas por minuto, ou seja, uma velocidade angular. Daí a gente tira a informação de que o ângulo é um parâmetro importante a ser analisado. Agora vamos desenhar as distâncias do problema, lembrando que o que buscamos é, em suma, a distância entre o velocista e o amigo:

Essa seria a organização do que se passa, onde D ( t ) é a distância entre as pessoas e θ ( t ) o ângulo entre as retas que ligam o velocista e o amigo ao centro. Nosso objetivo é achar a variação da distância entre os caras, ou seja, D ' .

Passo 2

Nós temos que num dado instante t 0 a distância D ( t 0 ) vale 200   m e θ ' ( t ) vale 1 3 . Vamos primeiro achar um jeito de equacionar a relação entre as duas grandezas. O melhor jeito me parece ser usando a Lei dos Cossenos:

D 2 = 200 2 + 100 2 - 2 100 200 cos ⁡ ( θ )

Onde, se derivarmos, acharíamos o seguinte:

2 D D ' = - 2 100 200 - sen ⁡ θ θ '

D D ' = 100 200 sen ⁡ θ θ '

Nossas equações serão, portanto:

D 2 = 200 2 + 100 2 - 2 100 200 cos ⁡ ( θ ) D D ' = 100 200 sen ⁡ θ θ '

Passo 3

Se em t 0 temos D = 200 e θ ' = 1 3 v o l t a / m i n = 1 3 2 π   r a d / m i n = 2 π 3   , vamos substituir no sistema e achar o D ' :

200 2 = 200 2 + 100 2 - 2 100 200 cos ⁡ ( θ ) ( 200 ) D ' = 100 200 sen ⁡ θ 1 3

100 2 = 2 100 200 cos ⁡ ( θ ) D ' = 100 sen ⁡ θ 2 π 3

1 = 4 cos ⁡ ( θ ) D ' = 200 π 3 sen ⁡ θ

Se temos cos ⁡ ( θ ) = 1 4 , sabemos que sen ⁡ ( θ ) = 1 - 1 4 2 = 15 4 . Logo,

D ' = 200 π 3 15 4

= 50 π 3 15

Logo, D ' t 0 = 50 15 π 3

Resposta

D ' t 0 = 50 15 π 3

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