Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Cristais de clorato de sódio são fáceis de crescer no formato de cubos permitindo uma solução de água e clorato de sódio evaporar vagarosamente. Se V for o volume de cada cubo com comprimento de lado x :

Mostre que a taxa de variação do volume de cada cubo em relação ao comprimento da aresta é igual a metade da área da superfície do cubo.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Essa questão pede pra gente fazer uma comprovação do seguinte: a taxa de variação do volume do cubo com relação à área, d V d x , é igual a metade da área superficial do cubo.

Então primeiro, nós precisamos calcular d V d x em um determinado valor de x. E depois vamos ver se é igual à metade da área.

Mas a gente só consegue calcular d V d x , se encontrar uma equação que consiga correlacionar o volume do cubo com o tamanho do seu lado.

Passo 2

Sabemos que o volume do cubo está diretamente relacionado com seu lado pela equação:

V = x 3

Então se queremos conhecer d V / d x , basta derivarmos o volume em função de x :

d V d x = 3 x 2

Agora vamos comparar com a área superficial!

Passo 3

Um cubo possui 6 faces, e cada face tem lado x . A área superficial A s   de cada lado é igual a x 2 , ou seja, como temos 6 faces, a área superficial total do cubo será a soma das áreas de suas 6 faces.

A s = 6 x 2

O enunciado disse que precisamos demostrar que d V / d x é igual a metade da área superficial do cubo.

Ou seja, se a A s = 6 x 2 , temos que a metade da área superficial do cubo será dada por:

M e t a d e   d e   A s = 1 2   6 x 2 = 3 x 2

Note que temos então:

d V d x = 3 x 2 = M e t a d e   d e   A s

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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