Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 10   m de diâmetro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto B (veja a figura).

Sabendo que ela pode caminhar 2 vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α , as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo.

(Obs.: Considere que ela pode somente caminhar ou somente nadar.)

Passo 1

Vamos escrever então uma fórmula para reunir toda a distância. Ele começa andando por uma fração de α do perímetro ( 2 π r ) da piscina, ou seja:

A C = α 2 π 2 π r = α r = 5 α

Para descobrir o B C , vamos usar um negócio que talvez você esteja enferrujado e mal lembre: Lei dos Cossenos. Rapaz, dois lados do triângulo passando pelo centro O e pelos pontos B e C tem dimensão dada pelo raio r . O ângulo de abertura ali é de ( π - α ) . A Lei dos cossenos será essa aqui embaixo:

B C 2 = O C 2 + O B 2 - 2 B C ( O C ) cos ⁡ B Ô C

Sabendo então que O C = O B = r , que B Ô C = π - α e ainda que cos ⁡ π - α = - cos ⁡ ( α ) , substituímos ali:

B C 2 = r 2 + r 2 + 2 r r cos ⁡ α = 2 r 2 1 + cos ⁡ α

B C = r ( 2 ) 1 + cos ⁡ α = 5 2 1 + cos ⁡ α

Bom, queremos o menor tempo, certo? Então precisamos de uma função t α = A C v A C + B C v B C . Se no pedaço fora da piscina a velocidade vale o dobro, podemos reescrever, usando como velocidade de B C um valor qualquer v , essa equação assim:

t α = 1 v 5 α 2 + 5 2 1 + cos ⁡ α

Passo 2

Para otimizá-la devemos derivá-la e igualá-la a zero e comparar com os valores das pontas do domínio, ou seja, α = 0 e α = π .

t ' α = 1 v 5 α 2 + 5 2 1 + cos ⁡ α ' = 1 v 5 2 + 5 2 - sen ⁡ α 2 1 + cos ⁡ α

1 v 5 2 + 5 2 - sen ⁡ α 2 1 + cos ⁡ α = 0

sen ⁡ α 1 + cos ⁡ α = 2 2

2 sen ⁡ α 2 = 1 + cos ⁡ α

2 1 - cos 2 ⁡ α = 1 + cos ⁡ α

Vou chamar cos ⁡ ( α ) = u

2 - 2 u 2 - 1 - u = 0

2 u 2 + u - 1 = 0

u - 1 2 u + 1 = 0

cos ⁡ α = 1 2   ; cos ⁡ ( α ) = - 1

α = π 3   ; α = π

Passo 3

Somando a esses dois pontos a outra ponta do domínio do alpha, que é dado por [ 0 , π ] , temos três pontos para analisar se são máximos ou mínimos:

α = π 3   ; α = π   ; α = 0

t π 3 = 1 v 10 π 3 2 + 10 2 1 + cos ⁡ π 3 = 1 v 10 π 6 + 10 2 1 + 1 2

= 1 v 10 π 6 + 10 2 3 2 = 1 v 10 π 6 + 10 3

t π = 1 v 10 π 2 + 10 2 1 + cos ⁡ π = 1 v 10 π 2 + 10 2 1 + - 1

= 1 v 10 π 2 + 10 2 0 = 1 v 10 π 2

t 0 = 1 v 10 0 2 + 10 2 1 + cos ⁡ 0 = 1 v 0 + 10 2 1 + 1

= 1 v 0 + 10 2 2 = 1 v ( 20 )

Considerando que v é uma constante positiva, colocamos em ordem crescente os valores de tempo acima (para se guiar na ordem, use a aproximação de π = 3 e 3 = 1,7 ):

1 v 10 π 2 < 1 v 20 < 1 v 10 π 6 + 10 3

Em termos de α , fica assim:

t π < t 0 < t π 3

Ou seja, o α que garante maior tempo é π 3 e o que garante o menor tempo é ( π ) .

Resposta

O   α   d e   m a i o r   t e m p o   é   π 3   e   o   d e   m e n o r   é   ( π )

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