Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3   m ³ / m i n , de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3   m .

Passo 1

A questão pede a variação da altura do cone quando a altura é 3 m . Temos a taxa de variação de seu volume, que é 3   m ³ / m i n . Sabemos também que o volume do cone é dado por

V = π r 2 h 3

Além disso, o enunciado diz que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Assim, a taxa de variação do raio é igual a taxa de variação da altura.

h = r

h ' = r '

e

V = π h 2 h 3 = π h ³ 3

Passo 2

Para achar a taxa de variação da altura, teremos que derivar implicitamente a equação que dá o volume do cone em relação ao tempo.

V ' = 3 π h 2 . h ' 3

h ' = 3 V ' 3 π h 2

Passo 3

Agora só precisamos substituir as informações dadas nos enunciados. A taxa de variação do volume, V ' , é 3   m 3 / m i n e a altura é 3 m . Então:

h ' 3 = 3 . 3 3 π 3 2 = 1 3 π = 0,106   m / m i n = 10,6   c m / m i n

Resposta

10,6   c m / m i n

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