Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Selecionado da Lista de Derivadas da Professora Renata - Cálculo 1 - UERJ

Um homem com 1,80   m de altura caminha em direção a um edifício, com uma velocidade de 1,5   m/s . Se existe um ponto de luz no chão a 15   m do edifício, com que velocidade a sombra do homem estará diminuindo, quando ele estiver a 9   m do edifício?

Passo 1

Vamos desenhando:

Bom, chamando a altura do cara de h , a distância do ponto até a parede de d e do ponto até o homem de l . Repare, quando falamos na velocidade do cara, estamos, basicamente, falando da velocidade com que l aumenta. Colocando, então tudo o que o cara me passou como dados, fica assim:

h = 1,8   m           ;           d = 15   m           ;           l = varia           ;           l ' = 1,5   m/s

E ele quer saber, quando d - l = 9 m , como varia a altura da sombra do maluco aí. Que é basicamente:

d H d t = H ' = ? ?

Passo 2

Vamos “matematicar” esse desenho:

Onde a sombra tem altura H . Repara que a inclinação θ que marcamos ali varia, é maior quando ele está mais perto do ponto e menor quando ele se afasta. O que não muda é essa relação entre as alturas e as distâncias que, por Semelhança de Triângulos, fica desse jeito:

h l = H d

Bom, pegando aquilo que já conhecemos, podemos deixar o H em função do l :

H = d ⋅ h l = 15 1,8 l - 1 = 27 ⋅ l - 1

Passo 3

Repara no seguinte, tanto a altura quando a distância l variam com o tempo. Se derivarmos em relação ao tempo ambas grandezas, podemos construir uma relação entre as taxas:

H ' = 27 ⋅ l - 1 ' = - 27 ⋅ l - 2 ( l ) ' = - 27 ⋅ l ' l 2

Queremos essa taxa H ' quando ele estiver a 9   m da parede vamos ter:

d - l = 9

Assim

15 - l = 9

l = 6

Sabendo ainda que a taxa de variação l ' vale, em qualquer momento, a mesma coisa:

l ' = 1,5   m/s

Substituindo, portanto:

H ' = - 27 ⋅ l ' l 2 = - 27 ⋅ 1,5 6 2 = - 27 ⋅ 1,5 36 = - 4,5 4 = - 1,125   m/s

E é isso!

Resposta

H ' = - 1,125   m/s

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