Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P à 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo à 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P .

a) Antes do ponto P a distância entre os aviões esta diminuindo? A que taxa?

b) Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos aviões mude a sua trajetória?

Passo 1

a) A distância entre os aviões é a reta que liga os dois aviões formando um triangulo retângulo, como na figura abaixo.

Essa distância está diminuindo conforme os aviões se aproximam de P . A taxa com que essa distância diminui é o que queremos encontrar. Para isso, temos que encontrar uma relação entre as variáveis envolvidas, que são as distâncias d 1 e d 2 de cada avião ao ponto P e d de um avião ao outro. Assim,

d 1 2 + d 2 2 = d ²

Passo 2

Derivando implicitamente a equação acima temos:

2 d . d ' = 2 d 1 . d 1 ' + 2 d 2 . d 2 '

d ' = 2 d 1 . d 1 ' + 2 d 2 . d 2 ' 2 d

As distancias d 1 e d 2 foram dadas no enunciado e d pode ser encontrada usando Pitágoras.

d 1 = 150   m i

d 2 = 20 0   m i

Então

d = 150 2 + 20 0 2 = 250   m i

Agora falta acharmos d 1 ' e d 2 ' , mas veja só, essas não são as taxas de variação da distância em relação ao tempo para cada avião? Em outras palavras essas são as velocidades dos aviões, que já foram dadas no enunciado. Então

d 1 ' = 450   m i / h

d 2 ' = 600   m i / h

Passo 3

Agora só precisamos substituir esses dados para encontrar d ' .

d ' = 2 . 150.450 + 2 . 200.600 2 . 250 = 750   m i / h

Passo 4

b) A equação que descreve a trajetória de cada avião é

s = s 0 + v t

Para o avião 1 isso pode ser escrito como

d 1 = 150 + 450 t

E para o avião 2

d 2 = 200 + 600 t

Quando d 1 = d 2 significa que há colisão. Se igualarmos as duas equações acima e encontrarmos um resultado quer dizer que há risco de colisão e o tempo encontrado é o momento em que ocorre a colisão.

150 + 450 t = 200 + 600 t

150 t = - 50

O sinal negativo pode ser ignorado, pois ele só está indicando o sentido negativo da posição.

150 t = 50

t = 50 150 = 1 3 h = 20   m i n

Resposta

a )   D i m i n u i n d o   à   750   m i / h

b )   S i m .   20   m i n u t o s .

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