Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma escada de 8m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a extremidade inferior estiver a 3m da parede?

Passo 1

O primeiro passo é a gente desenhar o problema.

Chamamos o comprimento da escada de E, a distância da ponta inferior da escada à parede de x e a altura de y. Podemos relacionar essas duas grandezas usando Pitágoras, certo?

x 2 + y 2 = E 2 = 64

Passo 2

Já que queremos a velocidade com que a ponta superior da escada desce no momento em que x = 3 precisamos derivar implicitamente a relação encontrada, visto que a velocidade é uma taxa, ou seja, uma derivada, da distância em relação ao tempo. Portanto, o que queremos encontrar é y ' quando x = 3 e x ' = 2

2 x x ' + 2 y y ' = 0

2 × 3 × 2 + 2 y y ' = 0

y y ' = - 6

Aqui temos um pequeno problema. Para encontrar y ' precisamos do valor de y , mas isso pode ser facilmente obtido se substituirmos o valor de x = 3 na equação x 2 + y 2 = 64 .

3 2 + y 2 = 64

y 2 = 55

y = 55

E voltando para encontrar y ' teremos:

y y ' = - 6 → 55 y ' = - 6 → y ' = - 6 55   m / s

O sinal de negativo na velocidade indica que a escada está descendo.

Resposta

y ' = - 6 55   m / s

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