Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma câmara de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s   =   15 t ² , sendo s a altura e t o tempo. A câmara está a 600   m do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo t   =   0 ).

Passo 1

O esquema abaixo representa a situação descrita no enunciado

Queremos a taxa de variação da distância d quando t = 10 s . Para isso, precisamos de uma relação entre d e s . Essa relação pode ser tirada da figura acima, que representa um triangulo retângulo.

d 2 = s 2 + 600 ²

Passo 2

Derivando implicitamente a equação acima temos:

2 d . d ' = 2 s . s ' + 0

d ' = 2 s . s ' 2 d

Passo 3

Agora só precisamos substituir s ,   s ' e d . Vamos começar por s e d . Quando t = 10 s temos que

s 10 = 15.10 2 = 1500

E

d 2 = 1500 2 + ( 600 ) ²

d = 1615,55

Por fim, vamos achar s ' derivando a expressão de s .

s ' = 15.2 t

s ' = 30 t

Como t = 10 ,

s ' 10 = 300

Finalmente:

d ' 10 = 2 . 1500 . 300 2 . 1615,55 = 278,54   m / s

Resposta

278,54   m / s

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