Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Um dos catetos de um triângulo retângulo diminui à uma taxa de 2,5   c m / m i n , enquanto outro cresce 5   c m / m i n . Em certo instante, o comprimento do primeiro lado é 20   c e n t í m e t r o s e o do segundo é 15   c e n t í m e t r o s . Passados 2   m i n u t o s , a que taxa está variando a área? Ela está aumentando ou diminuindo?

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noiteeeee gente linda!! Se tá difícil por aí, deixa que a gente te ajuda. Vamos resolver mais uma com muito ânimo e carinho? Bora lá!!

A situação é a seguinte, temos um triângulo retângulo que vai sofrendo modificações em seus catetos, um cateto diminuí a uma taxa de 2,5   c m / m i n e o outro cateto aumenta a uma taxa de 5   c m / m i n . Então a questão nos fornece que em um dado instante o primeiro lado que chamaremos de b possui 20   c e n t í m e t r o s e o outro cateto que chamaremos de c possui 15   c e n t í m e t r o s . Passados se 2   m i n u t o s   procura-se saber o que aconteceu com a área. E aí?? Como poderemos iniciar nosso probleminha?

Passo 2

Bom, como se deseja saber qual é a variação da área após 2   m i n u t o s   a partir de um instante t qualquer, vamos analisar como ficou as dimensões de cada cateto.

O cateto b diminuí a uma taxa de 2,5   c m / m i n . Assim,

b   =   20   - 2,5 ⋅ 2 = 20 - 5 = 15   c e n t í m e t r o s

Já o cateto c aumenta a uma taxa de 5   c m / m i n . Logo,

c   = 15   +   5 ⋅ 2   =   25   c e n t í m e t r o s

Passo 3

A área de um triângulo retângulo é dado pela metade do produto dos catetos, ou seja,

A   =   b c 2

Como queremos avaliar a variação da área em relação ao tempo, iremos aplicar a derivada de ambos os lados da equação. Utilizando a regra da cadeia temos:

d A d t   = 1 2 ( b ) d c d t + 1 2 ( c ) d b d t  

Bom já temos o valor das dimensões de cada cateto passados 2   m i n u t o s do instante t qualquer, e além disso, a questão já nos forneceu quanto varia cada cateto em relação ao tempo, então basta juntarmos nossos ingredientes e aplicarmos na receitinha!

d A d t   = 1 2 ( b ) d c d t + 1 2 ( c ) d b d t  

d A d t   = 1 2 ( 15 ) 5 + 1 2 ( 25 ) ( - 2,5 ) =   6,25   c m ² / m i n  

Como a variação da taxa foi positiva significa que a área está aumentando com o passar do tempo.

E aí? Tudo bem?

Show! Bora fazer mais!!!

:)

Resposta

Aumentando à uma taxa de 6,25   c m ² / m i n

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