Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

O raio de luz de um farol, que está situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Determine a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de 45° com a linha da praia.

Passo 1

A primeira coisa é fazer um desenho da situação pra entender o problema.

Vamos chamar de D o comprimento do raio de luz, e de x a distância ao longo da praia que ele percorreu em relação àquela linha tracejada. Vai ficar assim:

Aquele θ é o ângulo entre o raio de luz e a linha tracejada, não é o ângulo com a praia, eu fiz isso porque a conta fica mais simples assim a velocidade que ele dá é desse ângulo e não do da praia, só lembrar que:

θ = 90 ° - â n g u l o   d o   r a i o   c o m   a   p r a i a

Isso nos dá duas relações:

D 2 = x 2 + 9

s e n θ = x D

V = π r 2 h 3

Passo 2

Tendo essas relações vamos derivar isso tudo em relação ao tempo:

2 D D ' = 2 x x '

c o s θ θ ' = x ' D - x D ' D 2

Temos as duas relações mas quais dessas taxas de variação nós queremos? Lembra que ele quer a velocidade do raio de luz ao longo da praia? Então ele quer x '

Precisamos ver agora se temos todos os valores pra substituir ali. Primeiro ele deu a velocidade angular:

θ ' = 8 r p m = 8.2   π r a d m i n = 16   π   r a d / m i n

Ele também deu o ângulo:

θ = 90 ° - 45 ° = 45 °

Como ele quer x ' vamos isolar D ' na primeira equação, porque na primeira? A segunda tem a relação com θ e θ '

D ' = x D x '

c o s θ θ ' = x ' D - x x D x ' D 2 = x ' D 2 - x 2 x D 3

Falta acharmos D e x e aí ser feliz 😊

Passo 3

Como o ângulo é 45° esse triangulo é isóscele, dessa forma:

x = 3 k m

E podemos fazer

D 2 = x 2 + 9

D 2 = 3 2 + 9 2

D = 18 = 3 2   k m

Passo 4

Vamos substituir todos os valores

c o s θ θ ' = x ' D 2 - x 2 x ' D 3

cos ⁡ 45 ° 16 π = x ' 18 - 9 x ' 3 2 × 18

x ' = 96   π   k m / m i n  

Resposta

x ' = 96   π   k m / m i n

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