Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma roda gigante tem 10   m de raio e seu centro está a 11   m do solo. Ela gira no sentido anti-horário. Seja P um ponto fixado nessa roda. No instante t 0 em que P está a 16   m do solo, a distância de P ao solo varia a uma taxa de 30   m / m i n .

a ) A que taxa a roda está girando no instante t 0 ? (Ou seja, qual é a taxa de variação de θ em relação ao tempo no instante t 0 ?)

b ) Do ponto P parte um raio de luz que tangencia a circunferência e ilumina um ponto no solo. Qual é a taxa de variação da distância do ponto P ao ponto que ele ilumina no solo no instante t 0 ?

Passo 1

a ) Dei uma esquematizada na situação, adicionando ao desenho uma grade de eixos x y :

Olha comigo, botei y passando pelo eixo do círculo, que está a d = 1 m e tem r = 10 m . Bom, pela situação, o que é a minha altura em função do tempo? A distância de P até o eixo x (o chão), ou seja, minha altura é y ! A partir disso temos que descobrir relação entre y e θ para então descobrir a taxa de giro, o θ ' . Olha, y está sempre a 10 + 1 = 11 m de x , já que o centro do círculo está elevado dessa mesma distância. Em relação ao eixo, o y varia como se fosse um círculo trigonométrico, ou seja, y = r . sen ⁡ ( θ ) , onde já temos o raio. No fim das contas a equação de y ( t ) em relação a θ ( t ) é essa:

y t = 11 + 10 sen ⁡ θ t

Deriva dos dois lados para relacionar uma taxa com a outra:

y ' t = 10 θ ' cos ⁡ θ t

Sabemos ainda que nesse momento temos y t 0 = 16 m :

16 = 11 + 10 sen ⁡ θ t 0

sen ⁡ θ t 0 = 16 - 11 10 = 5 10 = 1 2

θ t 0 = π 6

Voltando para a outra equação, podemos apenas jogar isso e y ' t 0 = 30 e terminamos:

y ' t = 10 θ ' cos ⁡ θ t → 30 = 10 θ ' cos ⁡ π 6

θ ' = 30 10 cos ⁡ π 6 = 3 3 2 = 2 3   r a d / m i n

Passo 2

b ) Agora a parada é outra, acompanha no desenho:

Repara que se eu traçar essa reta tangente, posso jogar a altura do ponto P ali e formar um ângulo reto com o eixo x . Nessa situação, observando a horizontal aonde eu começo o ângulo θ e a reta tangente ao círculo, percebo que os dois ângulos laranjas são iguais, já que a reta de θ é paralela ao eixo x . Sendo assim, comparando os dois triângulos com ângulos retos e laranjas, descubro aquele ângulo azul claro que terá o mesmo valor e variação de θ .

No triângula maior, posso chamar a distância de P ao ponto iluminado S de D . Sendo a altura igual a y ( t ) e o ângulo entre y t e D ( t ) valendo θ , descubro essa relação:

y t = D t cos ⁡ ( θ )

Deriva para comparar as taxas:

y ' t = D ' t cos ⁡ θ t + D t - sen ⁡ θ t θ ' t

Se em t 0 temos y = 16 , y ' = 30 , θ = π / 6 , θ ' = 2 3 , D t = y t 0 cos ⁡ θ t 0 , logo:

y ' t = D ' t cos ⁡ θ t + y t 0 cos ⁡ θ t 0 - sen ⁡ θ t θ ' t

30 = D ' t 0 cos ⁡ π 6 + 16 cos ⁡ π 6 - sen ⁡ π 6 2 3

30 = D ' t 0 3 2 + 16 3 2 - 1 2 2 3

30 + 32 = D ' t 0 3 2

D ' t 0 = 62 2 3 = 124 3 3 m / m i n

Resposta

a )   θ ' = 2 3   r a d / m i n

b )   D ' t 0 = 124 3 3 m / m i n

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