Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Questão 4 - A superfície de um cubo oco, de aresta 5   c m , é feita de um material que se encolhe uniformemente a uma taxa constante de 7   c m 2 / s . Determine com que taxa está diminuindo o volume do cubo no momento em que sua aresta mede 4   c m .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos um cubo que inicialmente tem aresta 5   c m . Esse cubo encolhe superficialmente a uma taxa de   7   c m 2 / s .

Apenas com essas informações, temos que descobrir qual é a taxa de “encolhimento” no momento em que a aresta do cubo possuir 4   c m .

Tem alguma ideia aí? 👀

Lembra como é calculado o volume de um cubo?

V = a 3

E a área superficial?

A = 6 a 2

Se A , V e a forem funções do tempo t , temos

{ V t = a t 3   A t = 6 a t 2  

Qual é a operação que resulta em uma taxa de variação? A derivada, não é?

Então vamos usar desse recurso em nosso favor!

Pronto? 😁

Passo 2

Primeiro vamos calcular a taxa de variação da função área superficial A t derivando dos dois lados. (como 6 é uma constante, podemos tirar da derivada)

d A t d t = 6 d a t 2 d t

A derivada de A t é igual a A ' t , ou seja, a taxa de variação da área superficial, que como dada no enunciado, é igual a - 7   c m 2 / s

d A t d t = - 7

Já a derivada de a t 2 deve ser obtida a partir da regra da cadeia (substituindo a t por u ).

d a t 2 d t = d a t d t · d u 2 d u

d a t 2 d t = a ' t · 2 · u

Voltando u para a t

d a t 2 d t = 2 a t a ' t

Substituindo esses resultados na equação, temos

d A t d t = 6 d a t 2 d t

- 7 = 6 2 a t a ' t

12   a t a ' t = - 7

Agora considerando t f o instante em que a aresta do cubo é igual a 4 , temos que a t f = 4

Substituindo na equação...

12   4 a ' t f = - 7

a ' t f = - 7 48

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora faremos um procedimento muito parecido com a função de volume V t para encontrar a variação do volume no instante t f .

A função é dada por

V t = a t 3

Derivando os dois lados...

d V t d t = d a t 3 d t

Pela regra da cadeira, a derivada de a t 3 é dada por

V ' t = d a t d t · d u 3 d u

V ' t = a ' t · 3 · u 2

Substituindo u por a t

V ' t = a ' t · 3 · a t 2

V ' t = 3 a ' t a t 2

V ' t é a variação volumétrica que estamos procurando, a t é a medida da aresta que em t f é igual a 4 e a ' t é a variação linear da aresta que no instante t f calculamos que vale - 7 48 no passo anterior.

V ' t f = 3 a ' t f a t f 2

Fazendo as substituições...

V ' t f = 3 - 7 48 4 2

V ' t f = - 7

Portanto, a variação volumétrica no instante em que a aresta do cubo vale 4   c m é de - 7   c m 3 / s !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

- 7   c m 3 / s

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