Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma escada com 10m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Seja θ o ângulo entre o topo da escala e a parede e x a distância da base da escada até a parede. Se a base da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez x variará em relação a θ quando θ = π / 3 ?

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

A primeira coisa vai ser: BORA DESENHAR!!!

Aí está o desenho da escada de 10m apoiada verticalmente na parede à uma distância x da parede até sua base e com ângulo θ entre a parede e a escada.

O enunciado tá pedindo pra gente avaliar A RAPIDEZ QUE X VARIA EM RELAÇÃO A θ . Essa frase dá pra gente exatamente o que precisamos procurar, que é o

d x d θ

Ou seja, se a gente conseguir encontrar uma relação entre x e θ , podemos ao final encontrar essa variação.

Passo 2

Olhando pro nosso desenho, vemos que o x equivale ao cateto oposto do ângulo. E também conhecemos o valor de hipotenusa que é 10 m, certo?

Qual é a relação entre x , θ e hipotenusa?

cos ⁡ θ = x 10

x = 10   c o s ⁡ ( θ )

Passo 3

Tcharammmm, encontramos então uma equação que descreve x em função de θ .

Agora, só precisamos derivar em função de θ para encontrar essa variação que foi pedida no enunciado.

d x d θ = - 10 s e n θ

Agora basta substituirmos o valor de θ = π 3 e calcular que:

d x d θ = - 10 s e n π 3

π 3 = 60 °

d x d θ = - 10   s e n 60 ° = - 10 3 2

d x d θ = - 5 3

Resposta

d x d θ = - 5 3

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