Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Um retângulo possui lados que variam com o tempo e está inscrito numa região triangular conforme a figura abaixo. Determine com que taxa a área do retângulo está variando no instante em que sua altura y   mede 36   c m e está aumentando à taxa de 0,5   c m / s . Neste instante a área está aumentando ou diminuindo?

Passo 1

O problema quer saber a taxa com que a área do retângulo varia. Então ele quer:

d A d t = ? ?

Ele também nos disse que para o instante tratado, y = 36 c m e

d y d t = 0,5 c m / s

Passo 2

Podemos usar a expressão da área do retângulo para relacionar as variáveis do problema:

A expressão da área é:

A = x y

Precisamos então derivar:

d A d t = y d x d t + x d y d t

Substituindo o que a gente já sabe:

d A d t = y d x d t + x d y d t ⟹ d A d t = 36 d x d t + 0,5 x

Passo 3

Precisamos de x sua derivada. Mas temos que, por semelhança de triângulos: y 40 - x = 60 40

2 y = 3 40 - x

Derivando ambos os lados: 2 d y d t = - 3 d x d t

Substituindo:

2 ⋅ 0,5 = - 3 d x d t

d x d t = - 1 3   c m / s

No momento em que a altura vale 36   c m , temos:

36 40 - x = 3 2

x = 16

Portanto, substituindo de volta na fórmula de d A / d t :

d A d t = 36 d x d t + 0,5 x

d A d t = - 1 3 ⋅ 36 + 16 ⋅ 1 2

d A d t = - 12 + 8

d A d t = - 4   c m 2 / s

Resposta

A taxa de variação da área é negativa e, portanto, a área do retângulo está diminuindo.

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