Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

O sol está se pondo com ângulo de elevação (ângulo entre os raios e uma reta horizontal) que diminui a uma taxa de 0,25 radianos/hora. Com que velocidade estará crescendo a sombra de um prédio de 30 metros de altura quando o ângulo de elevação do sol for π / 6   ?

Passo 1

Em um problema de taxas relacionadas, devemos primeiro fazer um desenho para nos ajudar a descobrir as relações matemáticas que podemos tirar do problema.

Passo 2

Usando trigonometria

tan ⁡ β = 30 x

Derivando vamos ter

sec 2 ⁡ β d β d t = - 30 x 2 d x d t

Passo 3

Para resolvermos essa equação devemos ter todos os dados menos d x / d t . Do enunciado

D a d o s β = π 6 d β d t = - 0,25   r a d / h

Precisamos achar x

tan ⁡ π 6 = 3 3 = 30 x

x = 30 ⋅ 3 3 = 30 3   m

Passo 4

Substituindo os valores na equação das variações

sec 2 ⁡ β d β d t = - 30 x 2 d x d t

sec 2 ⁡ π 6 ⋅ - 0,25 = - 30 30 3 2 d x d t

d x d t = 30   m / h

Resposta

d x d t = 30   m / h

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