Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto, a uma taxa de 0,1 m³/s. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h = 5 m?

Passo 1

O primeiro passo é a gente desenhar o problema.

O volume do cone é dado por:

V = π r 2 h 3

Além disso, o enunciado diz que o raio do cone é 10m, assim:

r = 2 3 h

r ' = 2 3 h '

V = 4 π h 3 27

Passo 2

Para achar a taxa de variação da altura, teremos que derivar implicitamente a equação que dá o volume em relação ao tempo.

V ' = 3 × 4   π h 2 × h ' 27

h ' = 27 V ' 12 π h 2 = 9 V ' 4 π h 2

Passo 3

Agora só precisamos substituir as informações dadas no enunciado. A taxa de variação do volume é 0,1 m³/s e a altura é 5 m. Então:

h ' 5 = 9 × 0,1 4 π 5 2 = 0,9 100 π   m / s

Resposta

0,9 100 π   m / s

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