Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Da janela de um prédio, a 20 metros do solo, um menino brinca com uma ponteira laser, movendo-a verticalmente e iluminando a parede do prédio vizinho, situado a uma distância de 15 metros. Num determinado instante, o ponto de luz está a uma altura de 11 metros e a velocidade com que ele sobe é de 10 metros por segundo. Determine a taxa de variação do ângulo formado entre a horizontal e o feixe de luz nesse instante.

Passo 1

Dei uma esboçada no que está acontecendo aí nessa situação:

O quele pede é a taxa de variação do ângulo entre horizontal e o raio de luz, o θ do desenho. A gente pode concordar que, independente de θ e da altura h ( t ) , a razão entre H - h t 0 e d valerá sempre tg ⁡ ( θ ) , pelo que o desenho nos mostra:

tg ⁡ θ t = H - h t d

Bom, H = 20 m e d = 15 m . Aliás, essa velocidade com que o raio sobe que ele disse é a variação da altura h ( t ) em relação ao solo. No instante dado t 0 , temos que h ' t 0 = 10 m / s . Reunindo isso tudo eu posso usar na minha equação e já derivá-la para relacionar variação de h ( t ) com θ ( t ) :

tg ⁡ θ t = 20 - h t 15 = 4 3 - h t 15

sec 2 ⁡ θ t θ ' t = - h ' t 15

Agora, para determinar a derivada de θ no instante dado eu preciso da secante nesse instante. Vamos voltar ao desenho, cos ⁡ ( θ ) será dado por H - h t 0 dividido pela hipotenusa que é dada pelo seguinte, segundo o Teorema de Pitágoras:

a = H - h t 0 2 + d 2 = 9 2 + 15 2 = 306 = 3 34

Certo, tendo isso podemos pensar no cosseno, lembrando ainda que secante é o inverso do cosseno:

cos ⁡ θ t 0 = d a = 15 3 34 = 5 34

sec ⁡ θ t 0 = 34 5

Vamos voltar para a equação substituindo tudo que já sabemos:

sec 2 ⁡ θ t 0 θ ' t 0 = - h ' t 15

34 5 2 θ ' t 0 = - 10 15

θ ' t 0 = - 10 15 2 5 34 = - 25 51   r a d / s

Resposta

θ ' t = - 25 51   r a d / s

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