Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Dois lados de um triângulo têm comprimentos fixos, 4   m e 5   m , respectivamente. O ângulo entre estes lados está crescendo à taxa de 0 ,   06   r a d i a n o s / s e g u n d o . Encontre a taxa segundo à qual a área do triângulo está crescendo quando o ângulo entre os lado de comprimento fixo é π / 3 .

Passo 1

Vamos lá, esboçando agora a situação:

Agora, independente desse lado d ( t ) , que varia com o tempo, temos por definição que a área do triângulo, que varia com o tempo, é dada por:

A ( t ) = a b sen ⁡ θ 2

Onde θ é o ângulo entre os lados a e b e também varia com o tempo. Assim, a relação fica:

A t = 4 5 sen ⁡ θ 2 = 20 sen ⁡ θ t 2 = 1 0 sen ⁡ θ t

Assim, derivamos ambos os lados em relação ao tempo:

A ' t = 1 0 cos ⁡ θ t θ '

Se θ ' cresce a uma taxa constante de 0,06   r a d / s , quando θ t = π 3 nós temos a seguinte A ' ( t ) :

A ' t = 1 0 cos ⁡ θ t θ ' = 1 0 cos ⁡ π 3 0,06

= 1 0 1 2 0,06 = 0,3

Resposta

A ' t = 0,3   u . a . / s

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