Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste a 25 mi/h. A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois?

Passo 1

E aí, galera!!!! Tudo bem com vocês? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos diz que tem dois carrinhos que saem no mesmo momento e de um mesmo ponto, mas um segue pro sul e o outro pro oeste, cada um com a sua velocidade. Depois de nos falar isso, ele nos pede a variação da distância entre eles depois de duas horas da partida. Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser definir as nossas variáveis do problema.

Temos a velocidade do carrinho que vai pra oeste

d x d t = 60   m i / h

E a velocidade do carrinho que vai pro sul

d y d t = 25   m i / h

Bom, nós queremos saber como varia a distância entre os carrinhos. Podemos dizer que é a variação da nossa hipotenusa, uma vez que teremos os catetos equivalendo aos deslocamentos de cada um dos carrinhos.

Se a distância entre os carrinhos é z , então temos a seguinte variação para achar:

d z d t

Passo 3

Já vimos que é um triângulo retângulo, então nos resta aplicar Pitágoras e a derivada direta.

z 2 = y 2 + x 2

Derivando implicitamente com relação a t

2 z . d z d t = 2 y . d y d t + 2 x . d x d t

Agora é só substituir os valores pra gente encontrar d z d t

Para 2 horas, temos:

x = 120   m i

y = 50   m i

z = 130   m i

Logo:

d z d t = 1 z   x . d x d t + y . d y d t

d z d t = 120   .   60 + 50   .   25 130 = 65   m i / h

Resposta

d z d t = 65   m i / h

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