Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma cisterna de 10   m de largura, 20   m de comprimento, 1   m de profundidade nas extremidades e 3   m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados (veja a figura). Despeja-se água na cisterna a uma taxa de 0,3   m 3 / min . Seja h a altura do nível da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade (em metros por minuto) h estará subindo no instante em que h = 1 m ?

Passo 1

Comecemos a análise por uma variável cuja variação nós temos, o volume:

V ' t 0

Para isso, precisamos da fórmula do volume, que é:

V t = base × profundidade

A área da base, por ser um triângulo, é calculada da forma abaixo:

V t = x ( t ) h ( t ) 2 × 10

V t = 5 x ( t ) h ( t )

Passo 2

Dessa forma, a derivada que nós queremos é dada pela regra do produto:

V ' t = 5 x ' t h t + x t h ' t

E desejamos isto num instante t = t 0 :

V ' t 0 = 5 x ' t 0 h t 0 + x t 0 h ' t 0

Podemos relacionar as nossas variáveis por uma semelhança de triângulos:

x t h ( t ) = 20 2

x t = 10 h t

De forma que:

x ' t = 10 h ' ( t )

Então, substituindo:

V ' t 0 = 5 x ' t 0 ⋅ h t 0 + x t 0 ⋅ h ' t 0

V ' t 0 = 50 h ' t 0 ⋅ h t 0 + h t 0 ⋅ h ' t 0

V ' t 0 = 100   h ' t 0 ⋅ h ( t 0 )

Passo 3

Substituindo os dados:

0,3 m 3 min = 100   h ' t 0 × 1 m

h ' t 0 = 0,003 m min

Resposta

h '   ( t 0 ) = 0,003   m / min

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