Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Considere a parábola y = x 2 .

I – Encontre a equação da reta tangente T à parábola no ponto P ( a , a 2 )

II – Expresse a área do triangulo ABC em função de a (ver figura).

III – Sabendo que o ponto P parte da origem e que a taxa de variação da abscissa é 4 c m / m i n , determine a taxa de variação da área do triângulo ABC, quando o ponto de tangência é P 3,9 .

Passo 1

Show. Vamos fazer uma parte de cada vez. Primeiramente, a questão quer a reta tangente num ponto geral a , a 2 . E equação da reta então será:

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0 ⟹ y - a 2 = y ' a x - a

Vamos calcular y ' a para substituir ali em cima. Para tal, derivamos e substituímos o ponto:

y ' = x 2 = 2 x ⟹ y ' a = 2 a

Legal, então vai ficar: y - a 2 = 2 a x - a

Isolando y :

y = 2 a x - 2 a 2 + a 2 ⟹ y = 2 a x - a 2

Passo 2

Agora precisamos expressão a área do triângulo formado pela reta tangente, a reta x = 4 e ou eixo x , como mostra a figura. A área de um triângulo é: A = b h 2

Ou seja, base vezes altura divido por 2 . Precisamos então da base e da altura.

Vamos tentar achar a base. Olhe lá e veja que o ponto A é justamente onde a reta cruza o eixo x , ou seja, quando y = 0 . Assim:

0 = 2 a x - a 2 ⟹ x = 1 2 a

Dessa maneira, como B aparece na reta x = 4 , a distância A B é a nossa base:

A B = 4 - 1 2 a

Temos a base, agora precisamos saber qual é a altura. Veja que C acontece justamente quando a reta corta a outra reta x = 4 , ou seja, em:

y = 2 a ⋅ 4 - a 2 = 8 a - a 2

Assim, a distância B C será a nossa altura:

B C = 8 a - a 2

Já temos a base e altura, então chegamos na área: A = b h 2 = 1 2 4 - 1 2 a 8 a - a 2

Passo 3

A questão tenta confundir aqui, muita gente não lembra que a abcissa é justamente o eixo x fique atento. O problema pede a taxa de variação dá área, então vamos voltar a expressão:

A = b h 2 = 1 2 4 - 1 2 a 8 a - a 2

Derivando no tempo já achamos a fórmula dessa variação. Pela regra do produto:

A ' = 1 2 4 - 1 2 a 8 a - a 2 ' = 1 2 - 1 2 a ' 8 a - a 2 + 4 - 1 2 a 8 a ' - 2 a a '

A taxa de variação de x é x ' = 4 c m / m i n , mas temos o ponto dado P a , a 2 = x , y . Ou seja, x = a , e, portanto: a ' = x ' = 4 c m / m i n . Além disso, para P ( 3,9 ) , temos a = 3 . Substituindo isso tudo: A ' = 1 2 - 1 2 4 8 ⋅ 3 - 3 2 + 4 - 1 2 ⋅ 3 8 ⋅ 4 - 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = - 5 c m 2 / m i n

No gabarito oficial, a resposta está em c m 2 / s , mas como o enunciado tá / m i n , então essa é a unidade correta, não esqueça de colocá-la no final!

Resposta

A ' = - 5 c m 2 / m i n

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