Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada – Casos Clássicos

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Enunciado

Uma pedra caiu dentro de um lago, produzindo uma ondulação circular que cresce a uma velocidade radial de 60 m/s. Encontre a taxa segundo conforme a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de a) 1s b) 3s c) 5s. O que você pode concluir

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Bora desenhar o que está acontecendo!!

Note que com o tempo o raio dessa ondulação circular produzida tende a mudar de tamanho (aumentando tal que R1 d A / d t .

Passo 2

Sabe-se que a velocidade radial tem uma relação direta com a velocidade linear dada por:

R t = V r

A velocidade radial foi dada como 60, então:

R = 60 t

Passo 3

A área do círculo é dada por A = π R 2

Podemos substituir R = 60 t , e ao final, temos:

A = π 60 t 2 = π 3600 t 2

Passo 4

Uma vez que temos agora a área em função do tempo, podemos calcular sua derivada nos respectivos tempos pedidos no enunciado.

d A d t = 7200 π t

Agora basta substituir t = 1 ,   3   e   5 .

d A d t = A ' t

A ' 1 = 7200   π   c m 2 / s

A ' 3 = 21600   π   c m 2 / s

A ' 5 = 36000   π   c m 2 / s

A interpretação física é que, conforme o tempo passa, a área do círculo aumenta.

Resposta

A ' 1 = 7200   π   c m 2 / s

A ' 3 = 21600   π   c m 2 / s

A ' 5 = 36000   π   c m 2 / s

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